ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന് പഠനമുറിയിലേക്ക് – ത്രികോണമിതി പഠിപ്പിക്കുമ്പോൾ എന്തുവേണം ?

Hide

English

From History to the Classroom: What does Teaching Trigonometry Entail?

In tracing the history of trigonometry, we saw two distinct yet interwoven lines of development—one grounded in the practical problem of determining unknown side-lengths of triangles, as seen in the Egyptian seked and early surveying techniques, and the other emerging from the geometric study of circles and chords, central to ancient Greek and Indian astronomy. These two perspectives shaped the way trigonometry evolved and continue to influence its teaching today. This article shifts the focus from history to the classroom, examining the challenges that students and teachers face in learning and teaching trigonometry.

In most curricula, trigonometry is first introduced in Grade 9 as the ratio of sides in a right triangle. Later, students must transition to the broader perspective of trigonometric functions on the unit circle, where these familiar ratios transform into periodic functions that extend beyond 90^o or even 360^o. This shift—from static ratios to dynamic, continuous functions—requires a significant conceptual leap, and many students struggle to make this transition. Another major challenge is the interpretation of angles: while early exposure to angles is limited to those in triangles, the unit circle introduces angles as rotational measures, allowing negative values. At some point a new unit of measuring angles appears, radians. These conceptual shifts contribute to trigonometry’s reputation as an intimidating subject.

Conceptual difficulties in teaching-learning trigonometry

We now look at the problematic aspects of teaching learning trigonometry and share some thoughts on how teachers can make the subject more intuitive and accessible.

Ratio to functions: In their first encounter with trigonometry in the context of right triangles, where sine, cosine and tangent are defined as specific ratios of side-lengths:

The fact that there are multiple ratios to be memorised and that they have to be evaluated from arbitrarily rotated triangles may pose problems to students. To help remember these definitions, students often rely on mnemonics like SOH-CAH-TOA. They also memorise values for special angles such as 30^o, 45^o, and 60^o. These values are derived from standard right triangles. At this stage, trigonometry is deeply tied to a right triangle. Such an understanding is useful in solving many problems – the familiar heights and distances problems, those that involve lengths of shadows and resolution and addition of vectors in Physics.

But, this introduction also raises some implicit but unaddressed confusions – Why does trigonometry apply only to right angles? Is it possible to find sin 30^o when a 30^o angle appears in an acute-angled or obtuse-angled triangle? Does it still remain ½? If it remains half, why should it remain ½ for all 30^o angles irrespective of triangle size? Why should the ratio of sides in a 30^o-60^o-90^o right triangle be relevant for 30^o angles in other triangles? These questions often remain unresolved in the students’ mind as the introductory trigonometry does not explicitly emphasise the invariance of trigonometric ratios. A definition of the trigonometric ratios that is closely tied to the right triangle raises questions about their extension to angles greater than 90^o, negative angles or angles more than 360^o .

As students progress, they encounter trigonometric functions in a different setting. This is particularly evident when they study calculus, where sine and cosine appear in contexts such as differentiation and integration or in the equation of a simple harmonic motion. Such contexts demand the familiar trigonometric ratios be viewed as functions. Even when viewed as functions – these are unlike functions like \(\sqrt[3]{x+12}\) where f(15) can be evaluated by substituting values in \(x =15\) in the expression. But there is no expression where one can substitute 15 and evaluate sin 15 through arithmetic operations. Trigonometric functions are perhaps the first such functions that students encounter.

In addition the trigonometric functions are periodic. This leads to multiple solutions for the same equation, in sharp contrast with algebraic equations which yields a finite number of solutions. An equation like sin x = 0.5 has infinitely many solutions at regular intervals. This idea may be difficult for students to grasp. It is this notion of periodicity that allows us to extend the definition of trigonometric functions beyond 360^o. Trigonometric functions are to be understood in terms of their geometric and periodic behaviour.

The unit circle definition incorporates the geometric and periodic behaviour of these functions and extends the definition of sine and cosine to all angles positive and negative, without requiring the presence of a right triangle. As per this definition,

\(\sin\theta = \)The y-coordinate of the point at an angle and

\(\cos\theta = \)The x-coordinate of the point at an angle \(\theta\). (See Figure 2)

This definition helps students see “sine” as a process that takes an angle as an input and maps it to a real number. It also gives them a way to evaluate that function for any given angle.

This transition from the ratio definition to a functional understanding of sine, cosine, and tangent, where the functional values depend on angle measurements in a coordinate system is not an intuitive one. The challenge for teachers is to facilitate this shift in a way that helps students see how the right triangle approach and the unit-circle approach are connected, rather than view them as separate ideas.

From degrees to radians

The transition from degree as a measure of angle to the radian measure is another conceptual hurdle. Degree as a measure of angle is introduced early in schooling and is tied to everyday experiences as well. Protractors are calibrated in degrees. Research identifies insufficient conceptual understanding of radians as a problem point in trigonometry learning.

Based on “the angle as a measure of rotation” perspective, the radian measure uses the length of the arc traced to describe the angle. One radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc length that is equal to the radius of the circle. That is when you move along the circumference of the circle a distance equal to its radius, the angle that you turn is defined as a radian. It is the ratio of two lengths, the arc-length corresponding to a central angle and the radius of the circle and is therefore a dimensionless number. So radian angles are expressed as real numbers (Sin 30) as opposed to degree angles (Sin 30^o). For a unit circle, the radian measure of an angle is simply the corresponding arc-length. The full circle is equal to 2 radians around, and half circle is equal to an angle of radians. This makes radian a more natural way to measure angles as they are directly tied to the geometry of the circle. It is independent of human conventions. The degree measure on the other hand is based on an arbitrary division of the circle into 360 parts – perhaps chosen because of the Babylonian sexagesimal system of numeration than any intrinsic mathematical reason.

Imagine taking an infinitely long number line and “wrapping” it around the unit circle. Every real number on this number line corresponds to a specific point on the circle, with the number representing the radian measure of the angle formed. Because the number line extends infinitely in both directions, the set of possible angles extends infinitely as well and is not restricted to the 360^o. This enables trigonometric functions to be defined for all real numbers.

When the angle is very small (and measured in radians), the angle () itself and sin (the blue and red segments in Figure 2) become nearly equal as can be seen in Figure 3.

That is for small values of \(\theta\), \(\frac{\sin\theta}{\theta}= 1\)

This ensures that the derivative of \(\sin\theta\) , \(\frac {d (\sin \theta)}{d\theta} = \cos\theta\) , a neat expression.

When measured in degrees this will have a multiplying factor \(\frac{\pi}{180}\).

When students write \(\frac {d (\sin \theta)}{d\theta} = \cos\theta\), they are not often aware that the angle here is measured in radians. The periodicity of trigonometric functions also follows naturally when angles are measured in radians. \(\sin (\theta + 2\pi) = \sin\theta\) makes sense because 2 radians correspond to one full rotation.

Other difficulties encountered

Other than these the two foundational conceptual hurdles described in the previous two sections teachers may also have noted other inappropriate conceptions and confusions such as

Confusion about which ratio corresponds to which trigonometric function – for example is \(\sin\theta = \frac{\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}\) or \(\frac{\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}\) or whether to associate the x-coordinate or y-coordinate with the sine function etc.
Confusion about which quadrants the different functions are positive or negative and/or increasing and decreasing
Not understanding the reason behind such relations as \(\sin\theta = \sin (\pi-\theta)\) or \(\sin\theta = -\sin (-\theta)\), \(\cos\theta = \cos (-\theta)\)
Treating trigonometric functions as linear functions, that is assuming that \(\sin (x+ 30) = \sin x + \sin 30\)
Not being able to connect the triangle based definition of the ratios with their functional understanding .

The article so far may give you the impression that introducing students to radian measure of angle right away and unit-circle based trigonometry as introduction may be the way to go to avoid these difficulties. Is it so? Let us see what research has to say on this core pedagogical question.

The core pedagogical question – what does research have to say?

Ratio definitions arise naturally from applications to mensuration and surveying, whereas the unit circle definition leans more naturally to applications to periodic phenomena. Clearly both are needed. But the big question is which one should be used as we introduce trigonometry? A research study carried out by Weber (2007) indicates that students who were trigonometric functions using a unit circle model based experimental method were more successful in a specially designed test. The author however suggests that all forms of trigonometry teaching that stress the unit circle model would not lead to successful student learning. More important than the model itself, students need to understand the process used to create the representations of trigonometric ratios/functions. For example, the notion of \(sin\theta\) is better understood with a mental picture of what it means.

Another research study carried out in Australia (Kendall and Stacey, 1997) concludes that students who were taught using the ratio method were able to retain the concepts longer and were able to identify the appropriate trigonometric function to be used for a given problem. The study was limited to the solution of triangles and their practical applications. The authors therefore add the caveat that the students were not tested for conceptual development nor to see if foundations had been laid for later extension of the definitions of trigonometric functions beyond the first quadrant.

Thus we see that research is divided. Both approaches have their challenges. The unit circle approach may be mathematically more complete, but it is also more abstract. The right-triangle approach is useful and connects to real life applications, but is inherently limited and does not extend to angles beyond 90^o.

Embracing the Evolution of Mathematical Concepts

Trigonometric functions, like many mathematical ideas, evolve in meaning as students progress in their learning. Just as multiplication begins as repeated addition before expanding to scaling in the context of fractions and ultimately becoming a more abstract ring operation, trigonometry also undergoes a conceptual shift—from fixed ratios in right triangles to continuous functions on the unit circle, and eventually to power series representations in advanced mathematics (often referred to as analytic trigonometry). However, just as multiplication cannot be introduced as a ring operation at the elementary level, trigonometry cannot begin with power series. The challenge for educators is to introduce these ideas in a way that allows for smooth conceptual development, avoiding unnecessary confusion while preparing students for later advancements.

Some researchers and educators suggest that trigonometry be introduced using the unit-circle definitions of sine and cosine in multiple quadrants before shifting to the right-triangle approach for solving triangles. This could allow students to experience the core meaning of trigonometric functions as coordinate-based quantities rather than static ratios, helping to prevent the common difficulties discussed earlier. Once this foundation is established, the right-triangle approach can be reframed as a technique for solving problems rather than the primary definition of trigonometric functions. This sequencing may better support students in understanding periodicity, function behavior, and real-number extensions, ultimately laying a stronger groundwork for more advanced topics, including power series representations and calculus-based applications of trigonometry.

By carefully structuring how trigonometry is introduced and allowing its meaning to evolve over time, educators can help students develop a coherent and layered understanding—one that grows with them as they move from geometry to algebra, calculus, and beyond.

References:

Weber, K. (2005). Students’ understanding of trigonometric functions. Mathematics Education Research Journal, 17(3), 91-112.
Weber, K. (2008). Connecting research to teaching: teaching trigonometric functions: lessons learned from research. The Mathematics Teacher, 102(2), 144-150.
Kendal, M., & Stacey, K. (1996, June). Trigonometry: Comparing ratio and unit circle methods. In Technology in mathematics education. Proceedings of the 19th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp. 322-329).

ത്രികോണമിതിയുടെ ചരിത്രം തേടിയപ്പോൾ വ്യത്യസ്തമെങ്കിലും തമ്മിൽ ഇഴചേർന്ന രണ്ട് വികാസ വഴികൾ നാം കണ്ടു-

ഒന്ന്, ഈജിപ്ഷ്യൻ സെക്ഡിലും ആദ്യകാല ഭൂസർവേ ടെക്നിക്കുകളിലും കാണുന്നതു പോലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ അറിയാത്ത വശ-നീളം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്നുത്ഭവിച്ചത്,
മറ്റേത് പുരാതന ഗ്രീക്ക്, ഇന്ത്യൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രങ്ങളുടെ കേന്ദ്രസ്ഥാനത്തുള്ള വൃത്തങ്ങളുടെയും ഞാണുകളുടെയും ജ്യാമിതീയ പഠനത്തിൽനിന്ന് ഉത്ഭവിച്ചത്.

ഈ രണ്ട് കാഴ്ചപ്പാടുകളാണ് ത്രികോണമിതിയുടെ പരിണാമവഴി രൂപപ്പെടുത്തിയത്, അവ ഇന്നും അതിൻ്റെ അദ്ധ്യാപനത്തെ സ്വാധീനിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ത്രികോണമിതി പഠിക്കുന്നതിലും പഠിപ്പിക്കുന്നതിലും വിദ്യാർത്ഥികളും അധ്യാപകരും നേരിടുന്ന വെല്ലുവിളികൾ പരിശോധിച്ചുകൊണ്ട് ഈ ലേഖനം, ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന് ക്ലാസ് മുറിയിലേക്ക് ശ്രദ്ധ തിരിക്കുന്നു.

മിക്ക പാഠ്യപദ്ധതികളിലും, ത്രികോണമിതി ആദ്യമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നത് ഒൻപതാം തരത്തിൽ, മട്ടത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധങ്ങളായിട്ടാണ്. പിന്നീട്, യൂണിറ്റ് വൃത്തങ്ങളിലെ ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങൾ (trigonometric functions on the unit circle) എന്ന വിശാലമായ കാഴ്ചപ്പാടിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികൾ മാറണം. അവിടെ ഈ പരിചയിച്ച അംശബന്ധങ്ങൾ 90^oക്കും അല്ലെങ്കിൽ 360^o ക്കുപോലും അപ്പുറത്തേക്കു നീളുന്ന ആവർത്തിത ഏകദങ്ങളായി (periodic functions) മാറുന്നു. സ്ഥിതമായ അംശബന്ധങ്ങളിൽ നിന്ന് ചലനാത്മകമായ തുടരൻ ഏകദങ്ങൾ (dynamic, continuous functions) എന്ന കാഴ്ചപ്പാടിലേക്കുള്ള ഈ മാറ്റത്തിന് ആശയപരമായ ഒരു കുതിച്ചുചാട്ടം വേണം. പല കുട്ടികളും ഈ പരിവർത്തനത്തിൽ കഷ്ടപ്പെടുന്നു. മറ്റൊരു പ്രധാന വെല്ലുവിളി കോണുകളുടെ വ്യാഖ്യാനമാണ്: ആദ്യപരിചയം ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണുകളിലൊതുങ്ങുമ്പോൾ യൂണിറ്റ് വൃത്തം കോണുകളെ തിരിവിന്റെ അളവായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അപ്പോഴവയ്ക്ക് ഋണമൂല്യങ്ങളും (negative values) സ്വീകാര്യമാകുന്നു. ഒരു സമയത്ത് കോണളവിന് പുതിയൊരു യൂണിറ്റും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, റേഡിയൻ. ആശയപരമായ ഈ മാറ്റങ്ങൾ ത്രികോണമിതിക്ക് പേടിക്കേണ്ട വിഷയം എന്ന പേരുകിട്ടാൻ കാരണമാകുന്നു.

ത്രികോണമിതി അദ്ധ്യയനത്തിലെയും അദ്ധ്യാപനത്തിലെയും ആശയപരമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ

ഇനി ത്രികോണമിതി പഠിക്കൽ-പഠിപ്പിക്കൽ പ്രക്രിയയിലെ പ്രശ്നകാരണമായ വശങ്ങൾ നോക്കാം, വിഷയം പ്രാപ്യവും സഹജാവബോധപരവുമാക്കാൻ അധ്യാപകർക്ക് എങ്ങനെ കഴിയുമെന്നതിനെപ്പറ്റി ചില ചിന്തകൾ പങ്കിടുകയും ചെയ്യാം.

അംശബന്ധങ്ങളിൽ നിന്ന് ഏകദങ്ങളിലേക്ക് : മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ത്രികോണമിതിയുമായുള്ള ആദ്യകൂടിക്കാഴ്ചയിൽ മട്ട ത്രികോണങ്ങളുടെ വശ-ദൈർഘ്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സവിശേഷ അംശബന്ധങ്ങളായി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജൻറ് എന്നിവ നിർവചിക്കപെടുന്നു :

അനേകം അംശബന്ധങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കാനുള്ളതും അനിയതമായി തിരിഞ്ഞുള്ള ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇവ കണക്കാക്കേണ്ടിവരുന്നതും വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളായേക്കാം . ഈ നിർവചനങ്ങൾ ഓർമ്മവയ്ക്കാൻ സഹായത്തിന് വിദ്യാർത്ഥികൾ പലപ്പോഴും SOH-CAH-TOA തുടങ്ങിയ ഓർമ്മസഹായികളെ ആശ്രയിക്കാറുണ്ട്. അവർ 30^°, 45°, 60° പോലെയുള്ള പ്രത്യക കോണുകൾക്കുള്ള വിലകൾ മനഃപാഠമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ വിലകൾ മാനക മട്ട ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്ന് കിട്ടിയതാണ്. ഈ ഘട്ടത്തിൽ ത്രികോണമിതി മട്ടത്രികോണവുമായി ഗാഢമായി ബന്ധിതമാണ്. ഇത്തരം ധാരണ, നിഴൽ നീളങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പരിചിതമായ ഉയര-ദൂരപ്രശ്നങ്ങളും ഭൌതികശാസ്ത്രത്തിലെ സദിശങ്ങളുടെ വിഘടനവും സങ്കലനവും പോലെയുള്ളവയും നിർദ്ധരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കാം.

പക്ഷേ, ഈ ആമുഖം അന്തർലീനമെങ്കിലും അസംബോധിതമായ ചില ആശയക്കുഴപ്പങ്ങളും ഉയർത്തുന്നു – എന്തുകൊണ്ട് ത്രികോണമിതി മട്ട ത്രികോണങ്ങൾക്കു മാത്രം ബാധകമാകുന്നു? ഒരു ന്യൂനത്രികോണത്തിലോ ബൃഹത് ത്രികോണത്തിലോ ഒരു \(30^\circ\) കോൺ ഉണ്ടെങ്കിൽ \(\sin 30^\circ\) കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? അത് അപ്പോഴും ½ തന്നെ ആയിരിക്കുമോ? അങ്ങനെ ആയിരിക്കുമെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വലുപ്പവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ എല്ലാ \(30^\circ\) കോണുകൾക്കും ഇത് ½ ആയി തുടരുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\) മട്ട ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം മറ്റ് ത്രികോണങ്ങളിലെ \(30^\circ\) കോണുകൾക്ക് എന്തുകൊണ്ട് പ്രസക്തമാകണം? തുടക്കത്തിലെ ത്രികോണമിതി, വശദൈർഘ്യാംശബന്ധങ്ങളുടെ സ്ഥിരത വ്യക്തമായി ഊന്നിപ്പറയാത്തതിനാൽ ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മനസ്സിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടാതെ അവശേഷിക്കുന്നു. മട്ടത്രികോണവുമായ ഇറുകെ ബന്ധിപ്പിച്ച ഒരു നിർവ്വചനം ത്രികോണമിതീയ അംശബന്ധങ്ങളെ \(90^\circ\)-ൽ കൂടുതലുള്ള കോണുകളിലേക്കോ നെഗറ്റീവ് കോണുകളിലേക്കോ \(360^\circ\)-ൽ കൂടുതലുള്ള കോണുകളിലേക്കോ അവയെ വ്യാപിപ്പിക്കുന്നതിനെപ്പറ്റി ചോദ്യങ്ങളുയർത്തുന്നു.

മുന്നോട്ടു പോകുമ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങളെ മറ്റൊരു ചുറ്റുപാടിൽ കണ്ടുമുട്ടുന്നു. കാൽക്കുലസ് പഠിക്കുമ്പോൾ ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും വ്യക്തമാണ്, അവിടെ സൈനും കോസൈനും, അവകലനം (differentiation), സമാകലനം (integration) തുടങ്ങിയ സന്ദർഭങ്ങളിലോ സരള ഹാർമോണിക് ചലനത്തിൻ്റെ (simple harmonic motion) സമവാക്യത്തിലോ ദൃശ്യമാകുന്നു. ഇത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ പരിചിതമായ ത്രികോണമിതീയ അംശബന്ധങ്ങളെ ഏകദങ്ങളായി കാണേണ്ടതുണ്ട് . ഏകദങ്ങളായി കാണുമ്പോൾ പോലും – ഇവ xനു പകരം 15 എഴുതി വില കാണാൻ കഴിയുന്ന \(\sqrt[3]{x+12}\) പോലെയുള്ള ഏകദങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമാണ്. \(x\)-നു പകരം 15 എഴുതി അങ്കഗണിത ക്രിയകളുപയോഗിച്ച് \(\sin 15^\circ\)-ന്റെ വില കാണാൻ കഴിയുന്ന വ്യഞ്‌ജകങ്ങളില്ല (expressions). ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങൾ ആവും വിദ്യാർത്ഥികൾ കണ്ടുമുട്ടുന്ന ഇപ്രകാരമുള്ള ആദ്യത്തെ ഏകദങ്ങൾ.

ഇതിനുപുറമെ ത്രികോണമിതിയ ഏകദങ്ങൾ ആവർത്തകമാണ്. പരിമിതമായ എണ്ണം നിർദ്ധാരണങ്ങൾ മാത്രം തരുന്ന ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് തുലോം വ്യത്യസ്തമായി ഇത് ഒരേ സമവാക്യത്തിന് അനേകം നിർദ്ധാരണങ്ങളിലേക്കു നയിക്കുന്നു. \(\sin x = 0.5\) പോലെയുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിന് ക്രമമായ ഇടവേളകളിൽ അനന്തമായ നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ട്. ഈ ആശയം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പിടികിട്ടാൻ ബുദ്ധിമുട്ടായേക്കും. ആവർത്തനീയത എന്ന ഈ വിഭാവനമാണ് ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങളുടെ നിർവചനത്തെ \(360^\circ\) ക്കും അപ്പുറത്തേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നത്. ഈ ഏകദങ്ങളെ അവയുടെ ജ്യാമിതീയവും ആവർത്തിതവുമായ വ്യവഹാരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മനസ്സിലാക്കണം.

യൂണിറ്റ് വൃത്ത നിർവചനം ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയവും ആവർത്തിതവുമായ വ്യവഹാരം ഉൾച്ചേർക്കുകയും മട്ട ത്രികോണത്തിൻറെ സാന്നിദ്ധ്യം ആവശ്യപ്പെടാതെ സൈനിൻറെയും കോസൈനിൻറെയും നിർവ്വചനം എല്ലാ ധന /ന്യൂന കോണുകളിലേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു . ഈ നിർവ്വചനപ്രകാരം,

\(\sin\theta = \theta\) കോണിലുള്ള ബിന്ദുവിൻറെ y കോർഡിനേറ്റ്

\(\cos\theta =\theta\) കോണിലുള്ള ബിന്ദുവിൻറെ x കോർഡിനേറ്റ് (ചിത്രം 2 കാണുക)

ചിത്രം 2

ഒരു കോണിനെ നിവേശമായി (input) എടുത്ത് അതിനെ ഒരു നിസർഗ്ഗസംഖ്യയുമായി മാപ് ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയയായി “sine”നെ കാണാൻ ഈ നിർവ്വചനം പഠിതാക്കളെ സഹായിക്കുന്നു. ലഭ്യമായ ഏതു കോണിനും ആ ഏകദത്തിന്റെ മൂല്യം നിർണയിക്കാൻ ഒരു വഴിയും അതവർക്കു നല്കുന്നു.

അനുപാത നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു നിർദേശാങ്ക വ്യവസ്ഥയിലെ കോണളവുകളെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഫങ്ഷണൽ മൂല്യങ്ങൾ ഉള്ള, സൈനും, കോസൈനും, ടാൻജെന്റും എന്ന പ്രവർത്തനപരമായ ധാരണയിലേക്കുള്ള ഈ മാറ്റം സഹജാവബോധപരമല്ല. മട്ട ത്രികോണ സമീപനവും യൂണിറ്റ്-വൃത്ത സമീപനവും വ്യത്യസ്ത ആശയങ്ങളായി കാണുന്നതിനുപകരം, അവ തമ്മിൽ എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ സഹായിക്കുന്ന രീതിയിൽ ഈ മാറ്റത്തിന് സഹായിക്കുക എന്നതാണ് അധ്യാപകരുടെ മുന്നിലുള്ള വെല്ലുവിളി.

ഡിഗ്രി മുതൽ റേഡിയനുകൾ വരെ

ഡിഗ്രി എന്ന അളവിൽ നിന്ന് റേഡിയൻ അളവിലേക്കുള്ള മാറ്റം ആശയപരമായ മറ്റൊരു തടസ്സമാണ്. സ്കൂൾ വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ കോണിന്റെ അളവായി ഡിഗ്രി അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ദൈനംദിന അനുഭവങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതുമാണ്. പ്രൊട്രാക്ടറുകൾ ഡിഗ്രികളാണ് അങ്കനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. റേഡിയനുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയപരമായ ധാരണയുടെ പോരായ്മ ത്രികോണമിതി പഠനത്തിലെ ഒരു പ്രശ്നസന്ദർഭമായി ഗവേഷണങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നു.

“കോൺ – തിരിവിൻറെ ഒരളവ്” എന്ന കാഴ്ചപ്പാടിനെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി, അടയാളപ്പെടുത്തപ്പെട്ട ചാപത്തിൻറെ നീളം ഉപയോഗിച്ച് റേഡിയൻ കോണിനെ വർണ്ണിക്കുന്നു. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യം നീളമുള്ള ചാപം വൃത്തകേന്ദ്രത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണാണ് ഒരു റേഡിയൻ. അതായത്, വൃത്തപരിധിയിലൂടെ അതിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമായ ദൂരം നീങ്ങുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ തിരിയുന്ന കോണിനെയാണ് ഒരു റേഡിയൻ ആയി നിർവചിക്കുന്നത്. ഇത് രണ്ട് നീളങ്ങളുടെ അനുപാതമാണ്, ഒരു കേന്ദ്ര കോണിനനുബന്ധിച്ച ചാപനീളത്തിൻറെയും ആരത്തിൻറെയും. അതിനാൽ ഇത് ഏകകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു കേവല സംഖ്യയാണ്. അതുകൊണ്ട് ഡിഗ്രി കോണുകളിൽ നിന്ന് \(\sin 30^\circ\) വ്യത്യസ്തമായി റേഡിയൻ കോണുകൾ രേഖീയ സംഖ്യകളായി (\(sin 30\)) സൂചിപ്പിക്കുന്നു . ആരം ഒന്നായതുകൊണ്ട് യൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിൽ, കോണിന്റെ റേഡിയൻ അളവ് അതിനോടനുബന്ധിച്ച ചാപത്തിൻറെ നീളം തന്നെയാണ്. പൂർണ്ണ വൃത്തം \(2\pi\) റേഡിയനുകൾക്ക് തുല്യമാണ്, അർദ്ധവൃത്തം \(\pi\) റേഡിയനും. വൃത്തത്തിന്റെ ജ്യാമിതിയുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ ഇത് റേഡിയനെ കോണളവിനുള്ള കൂടുതൽ സ്വാഭാവികമായ മാർഗമാക്കി മാറ്റുന്നു. ഇത് മനുഷ്യനിർമ്മിത സമ്പ്രദായങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. മറുവശത്ത്, ഡിഗ്രി അളവ് 360 ഭാഗങ്ങളായുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ഏകപക്ഷീയ വിഭജനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് – ഒരുപക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്രസഹജമായ ഏതെങ്കിലും കാരണങ്ങളേക്കാൾ 60 അടിസ്ഥാനമായ ബാബിലോണിയൻ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം കാരണമാവാം ഇത് സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടത്.

അനന്തമായ ഒരു സംഖ്യാരേഖ എടുത്ത് യൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിൽ “ചുറ്റുന്നത്” സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഈ സംഖ്യാരേഖയിലെ ഓരോ രേഖീയ സംഖ്യയും വൃത്തത്തിലെ ഒരു പ്രത്യേക ബിന്ദുവിനോട് ചേരുന്നു, ആ സംഖ്യ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിന്റെ റേഡിയൻ അളവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. സംഖ്യാരേഖ രണ്ട് ദിശകളിലേക്കും അനന്തമായി നീളുന്നതിനാൽ, സാധ്യമായ കോണുകളുടെ ഗണവും അനന്തമായി നീളുന്നു, അത് 360°യിൽ ഒതുങ്ങുന്നില്ല . ഇത് എല്ലാ രേഖീയ സംഖ്യകൾക്കും ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നത് സാദ്ധ്യമാക്കുന്നു.

കോൺ വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ (റേഡിയനുകളിൽ അളക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ), കോണും (\(\theta\)) \(\sin\theta\)-യും (ചിത്രം 2-ലെ നീല, ചുവപ്പ് ഖണ്ഡങ്ങൾ) ചിത്രം 3-ൽ കാണാവുന്നത് പോലെ ഏതാണ്ട് തുല്യമാകും.

ചിത്രം 3

അതായത് \(\theta\) യുടെ ചെറിയ വിലകൾക്ക് \(\frac{\sin\theta}{\theta}\approx 1\)

ഇത് \(\sin\theta\)-യുടെ അവകലജം (derivative), \(\frac{d(\sin\theta)}{d\theta}=\cos\theta\) എന്ന വെടിപ്പുള്ള വ്യഞ്ജകമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു.

ഡിഗ്രിയിൽ അളക്കുമ്പോൾ ഇതിന് \(\frac{\pi}{180}\) എന്ന ഒരു ഗുണന ഘടകം ഉണ്ടാകും.

വിദ്യാർത്ഥികൾ \(\frac{d(\sin\theta)}{d\theta}=\cos\theta\) എന്ന് എഴുതുമ്പോൾ, ഇവിടെ കോൺ അളക്കുന്നത് റേഡിയനുകളിലാണെന്ന് പലപ്പോഴും അവർ അറിയുന്നില്ല. കോണുകൾ റേഡിയനുകളിൽ അളക്കുമ്പോൾ ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങളുടെ ആവർത്തനീയതയും സ്വാഭാവികമായി പുറകേയെത്തുന്നു. \(\sin (\theta + 2\pi) = \sin\theta\) എന്ന് സുവ്യക്തമാണ്, \(2\pi\) റേഡിയനുകൾ ഒരു കറക്കം പൂർത്തിയാക്കുമല്ലോ.

പഠിതാക്കൾ നേരിടുന്ന മറ്റ് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ

മുൻ ഭാഗങ്ങളിൽ വിവരിച്ച അടിസ്ഥാന ആശയപരമായ രണ്ട് പ്രതിബന്ധങ്ങൾ കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്നതു പോലെയുള്ള മറ്റ് അനുചിത ആശയഗ്രഹണങ്ങളും ആശയക്കുഴപ്പങ്ങളും അധ്യാപകർ ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം.

ഏത് ത്രികോണമിതി ഏകദവുമായി ഏത് അനുപാതം ചേരുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയക്കുഴപ്പം – ഉദാഹരണത്തിന് \(\sin\theta = \) എതിർ വശം\(\div\) കർണം ആണോ അതോ എതിർ വശം \(\div\) സമീപവശം ആണോ, അല്ലെങ്കിൽ x- കോർഡിനേറ്റാണോ y- കോർഡിനേറ്റാണോ സൈൻ ഏകദവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്, എന്നിങ്ങനെ.
ഏതൊക്കെ ചതുർത്ഥാംശങ്ങളിലാണ് വിവിധ ഏകദങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് എന്നതിനെക്കുറിച്ചും ഒപ്പം/അല്ലെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നത് എന്നതിനെക്കുറിച്ചും ഉള്ള ആശയക്കുഴപ്പം.
\(\sin\theta = sin (\pi -\theta )\) അല്ലെങ്കിൽ \(\sin\theta = – \sin (-\theta )\), \(\cos\theta = \cos (-\theta)\) തുടങ്ങിയ ബന്ധങ്ങൾക്ക് പിന്നിലെ കാരണം മനസ്സിലാകാതിരിക്കൽ.
ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങളെ രേഖീയ ഏകദങ്ങളായി പരിഗണിക്കുക, അതായത് \(\sin (x+ 30) = \sin x + \sin 30\) എന്ന് വിചാരിക്കുക .
ത്രികോണാധിഷ്ഠിത അനുപാത നിർവചനത്തെ അവയുടെ ഫലനപരമായ (functional) ധാരണയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയാതെ വരിക .

ഇതുവരെയുള്ള ലേഖനം നിങ്ങൾക്ക്, വിദ്യാർത്ഥികളെ നേരേ കോണിന്റെ റേഡിയൻ അളവ് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നതുംയൂണിറ്റ്-വൃത്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ത്രികോണമിതി ആമുഖമാക്കുന്നതും വഴി ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഒഴിവാക്കാം എന്ന ഒരു തോന്നൽ നൽകിയേക്കാം. അത് അങ്ങനെയാണോ? കാതലായ ഈ ബോധനശാസ്ത്രപ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ച് ഗവേഷണത്തിന് എന്താണ് പറയാനുള്ളതെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

കാതലായ ബോധനശാസ്ത്ര സമസ്യ – ഗവേഷണത്തിന് എന്താണ് പറയാനുള്ളത്?

അനുപാത നിർവചനങ്ങൾ മാപനം (mensuration), സർവേയിംഗ് തുടങ്ങിയവയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് സ്വാഭാവികമായി ഉണ്ടാകുന്നതാണ്, അതേസമയം യൂണിറ്റ്-വൃത്ത നിർവചനം ആവർത്തിത പ്രതിഭാസങ്ങളിലെ ഉപയോഗങ്ങളിലേക്ക് കൂടുതൽ സ്വാഭാവികമായി ചായുന്നു. വ്യക്തമായും രണ്ടും ആവശ്യമുണ്ട്. എന്നാൽ ത്രികോണമിതി അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ ഏതാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് എന്നതാണ്

ചോദ്യം. വെബർ നടത്തിയ ഒരു ഗവേഷണ പഠനം ( 2007) സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പ്രത്യേകം രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ഒരു പരീക്ഷയിൽ യൂണിറ്റ്-വൃത്ത മാതൃക അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പരീക്ഷണാർത്ഥ രീതിയിൽ ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങൾ പഠിച്ച വിദ്യാർത്ഥികൾ കൂടുതൽ വിജയിച്ചു എന്നാണ്. എന്നിരുന്നാലും, യൂണിറ്റ്-വൃത്ത മാതൃകയ്ക്ക് ഊന്നൽ നൽകുന്ന എല്ലാത്തരം ത്രികോണമിതി പഠിപ്പിക്കലും വിജയകരമായ പഠനത്തിലേക്ക് നയിക്കില്ലെന്ന് വെബർ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മാതൃകയേക്കാൾ പ്രധാനമായി, ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ/ഏകദങ്ങളുടെ പ്രതിനിധാനങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രക്രിയ വിദ്യാർത്ഥികൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\sin\theta\) എന്ന ആശയം അത് അർത്ഥമാക്കുന്നതിന്റെ ഒരു മാനസിക ചിത്രത്തോടൊത്തായിരിക്കും നന്നായി മനസ്സിലാകുക.

ഓസ്‌ട്രേലിയയിൽ നടത്തിയ മറ്റൊരു ഗവേഷണ പഠനം (കെൻഡലും സ്റ്റേസിയും, 1997) എത്തിച്ചേരുന്നത്, അനുപാത രീതി ഉപയോഗിച്ച് പഠിപ്പിച്ച വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ആശയങ്ങൾ കൂടുതൽ കാലം ഓർത്തിരിക്കാനും നല്കപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്‌നത്തിന് ഉപയോഗിക്കേണ്ട ഉചിതമായ ത്രികോണമിതി ഏകദം തിരിച്ചറിയാനും കഴിഞ്ഞു എന്ന നിഗമനത്തിലാണ്. ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിലും അവയുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗങ്ങളിലും ഒതുങ്ങിയ പഠനമായിരുന്നു ഇത്. അതിനാൽ, ആശയപരമായ വികാസമോ ഭാവിയിൽ ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ ആദ്യ ചതുർത്ഥാംശത്തിനപ്പുറം വിപുലീകരിക്കുന്നതിന് അടിത്തറ പാകപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടോ എന്നതോ പരീക്ഷിച്ചിട്ടില്ല എന്ന മുന്നറിയിപ്പ് രചയിതാക്കൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുണ്ട്.

അങ്ങനെ ഗവേഷണങ്ങളിൽ ഭിന്നാഭിപ്രായമുള്ളതായി നമ്മൾ കാണുന്നു. രണ്ട് സമീപനങ്ങൾക്കും അവയുടേതായ വെല്ലുവിളികളുണ്ട്. യൂണിറ്റ്-വൃത്ത സമീപനം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കൂടുതൽ പൂർണ്ണമായിരിക്കാം, പക്ഷേ അത് കൂടുതൽ അമൂർത്തവുമാണ്. മട്ട ത്രികോണ സമീപനം ഉപയോഗപ്രദവും യഥാർത്ഥ ജീവിത പ്രയോഗങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതുമാണ്, പക്ഷേ അത് സഹജമായിത്തന്നെ പരിമിതമാണ്, കൂടാതെ \(90^\circ\)ക്ക് അപ്പുറമുള്ള കോണുകളിലേക്ക് അത് വ്യാപിക്കുന്നുമില്ല.

ഈ സമവാക്യം “ഊർജം = ഭാരം \( \times\) വേഗം\(^2\)” എന്നർത്ഥം നൽകുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളുടെ പരിണാമം ഉൾക്കൊള്ളൽ

വിദ്യാർത്ഥികൾ അവരുടെ പഠനത്തിൽ പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ, പല ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളെയും പോലെ, ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങളുടെ പൊരുളുകളും കൂടുതൽ ഉരുത്തിരിയുന്നു. ഗുണനം, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ സ്കെയിലിംഗിലേക്ക് വികസിക്കുന്നതിനുമുമ്പ് ആവർത്തിച്ചുള്ള സങ്കലനമായി ആരംഭിക്കുകയും ഒടുവിൽ കൂടുതൽ അമൂർത്തമായ റിങ്ങ് ഓപ്പറേഷനായി മാറുകയും ചെയ്യുന്നതുപോലെ, ത്രികോണമിതിയും ഒരു ആശയപരമായ മാറ്റത്തിന് വിധേയമാകുന്നു – മട്ട ത്രികോണങ്ങളിലെ സ്ഥിത അനുപാതങ്ങളിൽ നിന്ന് യൂണിറ്റ്-വൃത്തങ്ങളിലെ തുടർ ഏകദങ്ങളിലേക്കും ആത്യന്തികമായി ഉന്നത ഗണിതത്തിലെ (പലപ്പോഴും വിശകലന ത്രികോണമിതി – analytic trigonometry – എന്ന് പരാമർശിക്കപ്പെടുന്ന) ഘാതശ്രേണീ പ്രതിനിധാനങ്ങളിലേക്കും (power series representations). എന്നിരുന്നാലും, പ്രാഥമിക തലത്തിൽ ഗുണനം ഒരു റിങ്ങ് ഓപ്പറേഷനായി അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്തതുപോലെ, ത്രികോണമിതി ഘാതശ്രേണിയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാനും കഴിയില്ല. പിന്നീടുള്ള പുരോയാനങ്ങൾക്കായി പഠിതാക്കളെ തയ്യാറാക്കുമ്പോൾ അനാവശ്യമായ ആശയക്കുഴപ്പം ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട്, സുഗമമായ ആശയ വികസനം അനുവദിക്കുന്ന രീതിയിൽ ഈ ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുകയാണ് അദ്ധ്യാപകർക്കുള്ള വെല്ലുവിളി.

ത്രികോണങ്ങൾ നിർദ്ധരിക്കാൻ മട്ട ത്രികോണ സമീപനത്തിലേക്ക് മാറുന്നതിനു മുമ്പ്, വിവിധ ചതുർത്ഥാംശങ്ങളിലെ സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും യൂണിറ്റ്-വൃത്ത നിർവചനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി അവതരിപ്പിക്കണമെന്ന് ചില ഗവേഷകരും ബോധനവിദഗ്ദ്ധരും നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. സ്ഥിത അനുപാതങ്ങൾക്ക് പകരം നിർദ്ദേശാങ്കാധിഷ്ഠിത (coordinate-based) അളവുകളായി ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങളുടെ അകംപൊരുൾ അനുഭവിച്ചറിയാൻ ഇത് വിദ്യാർത്ഥികളെ അനുവദിച്ചേക്കും, നേരത്തേ ചർച്ച ചെയ്ത പൊതു ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കും. ഈ അടിത്തറ സ്ഥാപിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ത്രികോണമിതീയ ഏകദങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക നിർവചനം എന്നതിനു പകരം പ്രശ്നനിർദ്ധാരണത്തിനുള്ള ഒരു സങ്കേതമായി മട്ട ത്രികോണ സമീപനത്തെ പുനഃനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ആവർത്തനാത്മകത, ഏകദ വ്യവഹാരം, രേഖീയസംഖ്യാ വിപുലീകരണങ്ങൾ എന്നിവ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ ഈ ക്രമം വിദ്യാർത്ഥികളെ കൂടുതൽ തുണയ്ക്കുകയും ആത്യന്തികമായി ഘാതശ്രേണീ പ്രാതിനിധ്യങ്ങളും ത്രികോണമിതിയുടെ കലനാധിഷ്ഠിത പ്രയോഗങ്ങളും ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഉന്നത വിഷയങ്ങൾക്ക് ശക്തമായ അടിത്തറ പാകുകയും ചെയ്തേക്കാം.

ത്രികോണമിതിയുടെ അവതരണം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചിട്ടപ്പെടുത്തിയും അതിന്റെ പൊരുൾ ക്രമേണ വികസിക്കാൻ അനുവദിച്ചും, ജ്യാമിതിയിൽ നിന്ന് ബീജഗണിതത്തിലേക്കും കലനത്തിലേക്കും അതിനപ്പുറത്തേക്കും നീങ്ങുമ്പോൾ അവരോടൊപ്പം വളരുന്ന യുക്തിയുക്തവും അടരടരുകളായുള്ളതുമായ ഒരു ധാരണ വളർത്താൻ അദ്ധ്യാപകർക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളെ സഹായിക്കാനാകും.

റഫറൻസുകൾ:

Weber, K. (2005). Students’ understanding of trigonometric functions. Mathematics Education Research Journal, 17(3), 91-112.
Weber, K. (2008). Connecting research to teaching: teaching trigonometric functions: lessons learned from research. The Mathematics Teacher, 102(2), 144-150.
Kendal, M., & Stacey, K. (1996, June). Trigonometry: Comparing ratio and unit circle methods. In Technology in mathematics education. Proceedings of the 19th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp. 322-329).

Dr. Jayasree Subramanian

TIFR ന്റെ കീഴിലുള്ള Homi Bhabha Centre for Science Education-ൽ ഗണിത ശാസ്ത്ര വിദ്യാഭ്യാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗവേഷണത്തിൽ ഭാഗമായി. ഇപ്പോൾ പാലക്കാട് ഐ.ഐ.ടി.യുടെ ഔട്ട്റീച്ച് ടീമിനൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.