LUCA @ School

Innovate, Educate, Inspire

“അറിയാത്തത് കണ്ടെത്തൽ” – അന്നും ഇന്നും

“FINDING THE UNKNOWN” – THEN AND NOW

Algebra is generally considered the watershed of school mathematics. It acts as a “gatekeeper” to the academic study of many subjects and by extension to a range of professions. This central role has sparked an ongoing debate over whether algebra should be taught to all students or reserved for those pursuing careers in the STEM field. Critics argue that students who are inclined to non-STEM careers or those who face emotional and psychological challenges while learning algebra  need not be subjected to the  frustration and self- doubt  that can arise from grappling with the complexities involved. However, from the perspective of educational equity, providing all students with access to algebra is crucial for ensuring equal opportunities in higher education and professional advancement. Algebra empowers students not only with mathematical skills but also with the analytical thinking needed to navigate challenges, keep career paths open, and adapt to an ever-evolving world.

Algebra, as we know it, takes on different forms depending on the perspective. For middle school teachers, it may be  “finding the unknown”  or “calculation involving letters” or “generalized arithmetic.” For mathematicians, it is a powerful toolkit—a precise language for describing, analyzing, and solving quantitative or logical problems across diverse fields, including mathematics, science, finance, and commerce. The secondary school curriculum typically covers topics such as solving linear and quadratic equations, systems of linear equations, manipulation and factorization of polynomials, and possibly matrices, functions, and graphs. At the tertiary level, algebra shifts focus to more abstract structures like groups, rings, and fields and further generalisation of these structures and the characterisation of different classes of such structures. 

However, the origins of algebra were far more practical, evolving from the arithmetic techniques used by merchants, surveyors, and early mathematicians to solve everyday numerical problems. The ways in which mathematical ideas and arguments were expressed also evolved – from words and sentences to abbreviated words and eventually to symbols. Alongside this evolution in the ways of expression, the nature of problems that were addressed by algebra also evolved. Initially centered on geometric problems related to land measurement, algebra later progressed to solving problems that involved finding unknown numbers that satisfy given relationships. By the time of the early modern period, algebra was used to address “dynamic problems,” which laid the groundwork for the study of functions and calculus. The focus of modern algebra is structure and abstraction. Katz (2007) calls these the four conceptual stages in the history of algebra – 1) The geometric stage 2) Equation solving stage 3) the dynamic function stage and 4) the abstract stage. This article is concerned with the first two stages and their relevance to today’s classrooms. 

A large part of school algebra is also about solving equations – doing calculations not just with numbers, but with letters that stand for unknowns. How is this different from arithmetic, where we calculate with known numbers to find an answer?  

For instance, in arithmetic, we might be asked: What do you get when you square 3 and add 4? That’s simply \(3^2+4=13 \). 

But in algebra, we might be given the answer—13—and asked: What number, when squared and added to 4, gives 13?
 This can be written as \((?)^2+4=13\) and now we need to work backwards. Subtracting 4 from both sides gives \((?)^2=9\). So the unknown must be 3.

This process—of reversing steps to uncover an unknown quantity—is at the heart of school algebra. Until the 18th century, algebra was largely concerned with exactly this kind of reasoning.  Leonhard Euler called algebra “the science which teaches how to determine unknown quantities by means of those that are known”. In this article, we will focus on methods used to solve quadratic equations and explore how these techniques bear striking similarities to modern approaches. By examining the early development of algebra as a tool for “finding the unknown,” we aim to show how ancient solutions continue to resonate in contemporary classrooms. Looking at these historical methods not only deepens conceptual understanding but also adds a layer of sense-making—revealing the rationale behind procedures that are often taught and applied mechanically today.

The early beginnings – rooted in geometry: 

The earliest algebra-ideas that relate to Euler’s definition (and other 18th century definitions that echo similar ideas), come from Mesopotamia starting about 4000 BC. Clay tablets dating back to 2000 – 1700 BCE contain a number of  problems involving land division, which lead to quadratic equations and their solution. The surveyors developed a “cut and paste” geometry to work out these problems and herein lies the genesis of Babylonian algebra. Consider a problem and its solution from a tablet dating back to 1800 BCE. 

The sum of the length and width of a rectangle is given to be \(6\frac{1}{2}\) and the area is \(7\frac{1}{2}\). Find the length and width. In modern terms, this translates to finding two numbers given their sum and product.

\(x + y = 6\frac{1}{2} = b\), say.  

\(xy = 7\frac{1}{2} = c\), say. Find x and y. Clearly it involves solving a quadratic equation. 

The scribe describes the step-by-step procedure to find the answer. 

  1. Halve \(6\frac{1}{2}\) to get \(3\frac{1}{4}\).
  2. Square the \(3\frac{1}{4}\) to get \(10\frac{9}{16}\).
  3. From this area subtract the given area \(7\frac{1}{2}\) to get \(3\frac{1}{16}\). 
  4. Extract the square root of this number as \(1\frac{3}{4}\). 
  5. The length is \(3\frac{1}{4}+1\frac{3}{4}= 5\). and the width is \(3\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}= 1\frac{1}{2}\).

A close reading of the tablet gives the impression that the scribe had a geometric procedure in mind. The same procedure is seen repeated over multiple problems. So it seems fair to assume generality. Now let us rewrite Babylonian algorithm using the modern notations that we generally use. 

 In Figure 1 Rectangle ABCD has an area of  \(c = 7\frac{1}{2}\).

\(AB =  x\) and \(BC = BX = y\) and \(AX = x + y  = b \) say.

Let us see what the algorithm above translates to geometrically. 

  1. Find the midpoint of AX. This is marked P in the figure. The length of AP is \(\frac{b}{2}= \frac{x+y}{2}= 3\frac{1}{4}\) in this case.
  2. Construct a square with side AP. This is square APQR in the figure and it has area \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 =\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 10\frac{9}{16}\).
  3. From this we need to subtract the given area \(c =  7\frac{1}{2}\).  Using the notations we developed we need to evaluate \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2- xy\) or \(\left(\frac{b}{2}\right)^2 – c\). For this we look at how the sides of the original rectangle, namely x and y are related to the side of this square, \(\frac{ x + y}{2}\). \(\frac{b}{2}=\frac{x+y}{2}=\left(x -\frac{x-y}{2}\right) =\left( y +\frac{x-y}{2}\right )\). From the figure we see that the difference between the areas of the original rectangle ABCD and the square APQR is nothing but the area on a length \(\frac{x -y}{2}\).  \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2- xy = \left(\frac{x-y}{2}\right)^2\). So step 3 of the algorithm gives us \(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2\).  
  4. In Step 4, we take the square root of this to find \(\frac{x-y}{2}= 1\frac{3}{4}\). Notice that we now evaluated \(\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}\).
  5. Now Step 5 is nothing but the calculation of \(\frac{b}{2}+\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}\) and \(\frac{b}{2}-\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}\).

Similar as it seems to the familiar quadratic formula we need to bear in mind that the Babylonians did not use the symbols as I did above. What they did is to describe in words a procedure or algorithm to find the answer to a particular problem, for a given set of numbers and used it repeatedly for other sets of numbers as well. The Babylonian algorithm expressed using modern day notation is the quadratic formula. In this and similar problems expressed in words, and solved using geometric ideas, we see the beginnings of algebra. 

We also see some algebraic notions in Euclid’s (circa 300 BC) Elements, which is primarily a text of geometry.  Proposition II-5 for example states “If a straight line is cut into two equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole, together with the square on the straight line between the points of the section is equal to the square on the half.”  If we consider the unequal segments to be x and y and the total length of the line segment as x + y, and the area contained by them, xy, Euclid’s proposition translates to 

\(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=  xy + \left(\frac{x-y}{2}\right)^2\)

 using modern symbolism. This was also the underlying relationship that the Babylonians exploited in Step 3) of their algorithm described above. Later Islamic mathematicians also quoted this Proposition to justify their algorithm to solve quadratic equations. 

Equation Solving – Arab algorithms

The beginnings of “algebra” that we see in the Babylonian and Greek texts is rooted in geometry. Eventually algorithms started replacing the geometry and algebra evolved into the equation solving phase. The quadratic formula appears without the geometric underpinning in Indian mathematics of the sixth century. Similarly Diophantus had an algorithm for solving quadratic equations based purely on numbers. The compendium Al-Kitāb al-mukhtasar fı̄ hisāb al-jabr wal-muqābala  (The Compendious Book on Calculation by Restoration and Reduction) written by the legendary Islamic mathematician Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmı describes the rules of “al-jabr and al-muqabala” which are standard equation solving procedures.  Al-jabr means the operation of transposing a subtracted quantity on one side of an equation to the other side where it becomes an added quantity, while al-muqabala refers to the reduction of a positive term by subtracting equal amounts from both sides of an equation. For example, converting \(3x + 2 = 4 – 2x \) to \(5x + 2 = 4\) is an example of al-jabr, while converting the latter to 5x = 2 is an example of al-muqabala. In addition to laying out methods to solve many standard problems, Al-Khwarizmi also classified problems into types and laid out systematic methods for solving such problems.  The following are the five types of quadratic equations identified by Al-khwarizmi and these equations in their modern notation. 

  1. Squares equal to roots: \((ax^2 = bx)\)
  2. Squares equal to numbers: \((ax^2 = c)\)
  3. Squares and roots equal to numbers: \((ax^2 + bx = c)\)
  4. Squares and numbers equal to roots: \((ax^2 + c = bx)\)
  5. Roots and numbers equal to squares: \((bx + c = ax^2)\)

In these type descriptions, “root” is to be understood as any quantity which is to be multiplied by itself ( the unknown x ) and could be positive integers or fractions. “Square” is to be understood as the root multiplied by itself (x2) and a number is…well any number!

Negative numbers were not widely used during Khwarizmi’s times. Moreover these equations arose from real life contexts involving measuring quantities or counting things, where negative quantities did not make sense.  Hence an insistence that all coefficients had to be positive and consequently the five types. If we allow for negative coefficients, all these types can be subsumed under one type \(- ax^2 + bx + c = 0\) where \(a \ne 0\). Khawarizmi describes algorithms to find the positive roots of all these types.

 Many of Al-Khwarizmi’s problems are about numbers, marking the move from geometry to “finding the unknown” – For example:

 I have divided 10 into two parts, and have divided the first by the second, and the second by the first. The sum of the quotients is \(2\frac{1}{6}\). Find the parts. 

OR

What is the square which is such that when you add 21 units, the sum total equals 10 roots of that square?  ( \(x^2 + 21 =10x\), Type 4 above)

OR

What is the square that, when combined with 10 of its roots will give a sum total of 39? (\(x^2 + 10x = 39\), Type 3 above) 

Let us look at how Khwarizmi solves this Type 3 problem. 

“ The manner of solving this type of equation is to take one-half of the roots just mentioned. Now the roots in the problem before us are 10. Therefore take 5, which multi­plied by itself gives 25, an amount which you add to 39, giving 64. Having taken then the square root of this which is 8, subtract from it half the roots, 5 leaving 3. The number three therefore represents one root of this square, which itself, of course is 9. Nine therefore gives the square.” 

The algorithm is entirely verbal and there are no symbols. Having written down the algorithm, Al-Khwarizmi uses  a cut and paste geometry to justify the algorithm.  Once verified Al-Khwarizmi expects the reader to use the appropriate algorithm to solve the problem. 

In part (a) Figure 2 above, the sum of the “square” (x2) and 10 roots (the rectangle whose sides are x and 10) is given to be 39. If we imagine the rectangle to be cut into two pieces of area 5x each, and realign them as in part (b) of the figure, a square of area 25 will “complete” the area of 39 to a square of 64. The side of this square is 8, using which we can find the “root” to be 3. The second solution, -13 is ignored here.  This geometric justification gives an insight into the “completing the square” method that is taught to solve a quadratic equation. 

Following this the 16th century mathematician Cardano and others figured out how to solve the cubic and the quartic. Even at this stage, algebra was about solving equations. But the words were used by abbreviated forms and eventually symbols. Around this time, mathematicians started asking questions for which the answer was not a mere number. For example, finding the path of planets or a projectile where the answer is an entire curve and not a number. Descartes’ coordinate geometry gave mathematicians a means to represent motion and this further led to the development of Calculus by Newton and Leibniz, leading on to the “dynamic functions” phase of algebra. We will leave these later stages for a later article.  It is worth mentioning here that attempts to solve the cubic and quartic led to the development of negative numbers and complex numbers. 

The quadratic formula is often handed down to students as a ready-made tool, to be memorized and applied without question. Stripped of its context, it can feel mysterious or arbitrary. But when we trace its evolution—from the geometric reasoning of Babylonian scribes, through the verbal algorithms of Al-Khwarizmi, to its modern symbolic form—we uncover the rich layers of meaning beneath the formula. Understanding its historical and geometric roots not only enhances sense-making but also helps students see algebra as a human endeavor shaped over centuries, rather than a static body of rules imposed from above.

References:

  1. Katz, V. J., & Barton, B. (2007). Stages in the history of algebra with implications for teaching. Educational studies in mathematics, 66, 185-201.
  2. Arcavi, A., Drijvers, P., & Stacey, K. (2016). The learning and teaching of algebra: Ideas, insights and activities. Routledge.

“അറിയാത്തത് കണ്ടെത്തൽ” – അന്നും ഇന്നും

പൊതുവേ, ബീജഗണിതം സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു അതിർവരമ്പായാണ് കരുതപ്പെടുന്നത്. പല വിഷയങ്ങളുടെയും അക്കാദമിക പഠനത്തിനും വിശാലാർത്ഥത്തിൽ ഒരു കൂട്ടം ജീവിതവൃത്തികൾക്കും അത് ഒരു “ദ്വാരപാലകൻ” ആയി വർത്തിക്കുന്നു. ബീജഗണിതം എല്ലാ വിദ്യാർത്ഥികളെയും പഠിപ്പിക്കണമോ അതോ STEM മേഖലകളിൽ  തൊഴിലന്വേഷിക്കുന്നവർക്ക് മാത്രമായി നീക്കിവയ്ക്കണോ എന്ന അന്തമില്ലാത്ത ചർച്ചയ്ക്ക്  ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഈ പ്രാമുഖ്യം കാരണമായിട്ടുണ്ട്. STEM-ഇതര മേഖലകളിലെ കരിയറുകളിൽ തല്പരരായ വിദ്യാർത്ഥികളെയും ബീജഗണിതം പഠിക്കുമ്പോൾ വൈകാരികവും മനഃശാസ്ത്രപരവുമായ വെല്ലുവിളികൾ നേരിടുന്നവരെയും ബീജഗണിതപഠനത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണതകളുമായി മല്ലിടുന്നതിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകാവുന്ന നിരാശയ്ക്കും ആത്മശങ്കയ്ക്കും വിധേയരാക്കേണ്ടതില്ലെന്ന് വിമർശകർ വാദിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, വിദ്യാഭ്യാസ നീതിയുടെ ഭാഗത്തുനിന്നു നോക്കുമ്പോൾ, ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസത്തിലും പ്രൊഫഷണൽ ഉന്നതിയിലും തുല്യ അവസരങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കുന്നതിന് എല്ലാ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ബീജഗണിതം പഠിക്കാനുള്ള അവസരം നല്കുന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര നൈപുണികൾ കൊണ്ടു  മാത്രമല്ല, വെല്ലുവിളികൾ മറികടക്കാനും കരിയർ പാതകൾ അടഞ്ഞുപോകാതിരിക്കാനും നിരന്തരം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ലോകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടാനും ആവശ്യമായ വിശകലന ചിന്തകൊണ്ടു കൂടിയാണ്, ബീജഗണിതം വിദ്യാർത്ഥികളെ ശാക്തീകരിക്കുന്നത്.

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ബീജഗണിതം കാഴ്ചപ്പാടിനനുസൃതമായി വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു. മിഡിൽ സ്കൂൾ അധ്യാപകർക്ക്, അത് “അറിയാത്തത് കണ്ടെത്തുക”, “അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ”, “സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ഗണിതം”, ഒക്കെ ആകാം. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, അത് ശക്തമായ ഒരു ടൂൾകിറ്റാണ് – ഗണിതശാസ്ത്രം, ശാസ്ത്രം, ധനകാര്യം, വാണിജ്യം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വൈവിദ്ധ്യമാർന്ന മേഖലകളിലുടനീളമുള്ള പരിമാണപരമോ യുക്തിപരമോ ആയ പ്രശ്നങ്ങ8 വിവരിക്കുന്നതിനും വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനും പരിഹരിക്കുന്നതിനുമുള്ള കൃത്യതയുള്ള ഒരു ഭാഷാരീതി. സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി സാധാരണയായി ഏകദങ്ങൾ, ഗ്രാഫുകൾ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും ദ്വിതീയ സമവാക്യങ്ങളും രേഖീയ സമവാക്യ സംഹിതകളും പരിഹരിക്കൽ, പോളിനോമിയലുകളുടെ – ഒരു വേള മാട്രിക്സുകളുടെയും – മാറ്റിമറിക്കലും (manipulation) ഘടകവൽക്കരണവും തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. കോളജിലെത്തുമ്പോൾ, ബീജഗണിതം, ഗ്രൂപ്പുകൾ, റിങ്ങുകൾ, ഫീൽഡുകൾ പോലുള്ള കൂടുതൽ അമൂർത്ത ഘടനകളിലേക്കും ഈ ഘടനകളുടെ കൂടുതൽ സാമാന്യവൽക്കരണത്തിലേക്കും അത്തരം ഘടനകളുടെ വ്യത്യസ്ത ക്ലാസുകളുടെ ക്യാരക്റ്ററൈസേഷനിലേക്കും ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഉത്ഭവം ഇതിനേക്കാളൊക്കെ പ്രായോഗികമായിരുന്നു, വ്യാപാരികളും, സർവേയർമാരും, ആദ്യകാല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുമൊക്കെ ദൈനംദിന സംഖ്യാ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന അങ്കഗണിത സങ്കേതങ്ങളിൽ നിന്നാണ് അത് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളെയും യുക്തികളെയും ആവിഷ്കരിക്കുന്ന രീതികളും പരിണമിച്ചു – വാക്കുകളിലും വാക്യങ്ങളിലും നിന്ന് ചുരുക്കെഴുത്തിലേക്കും ഒടുവിൽ ചിഹ്നങ്ങളിലേക്കും. ആവിഷ്കാര രീതികളിലെ ഈ പരിണാമത്തോടൊപ്പം, ബീജഗണിതം അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ തരവും മാറി. തുടക്കത്തിൽ ഭൂമി അളക്കലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരുന്ന ബീജഗണിതം, പിന്നീട് നിർദ്ദിഷ്ട ബന്ധങ്ങൾ പാലിക്കുന്ന അജ്ഞാത സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്ന തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പുരോഗമിച്ചു. ആധുനിക കാലഘട്ടത്തിന്റെ തുടക്കമായപ്പൊഴേക്കും, ബീജഗണിതം “ചലനാത്മക (dynamic) പ്രശ്നങ്ങളെ” നേരിടാൻ ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ടു, ഇത് ഏകദങ്ങളുടെയും കാൽക്കുലസിന്റെയും പഠനത്തിന് അടിത്തറയിട്ടു. ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ ശ്രദ്ധ ഘടനയിലും ( structure) അമൂർത്തീകരണത്തിലുമാണ്. കാറ്റ്സ് (2007) ഇവയെ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിലെ ആശയപരമായ നാലു ഘട്ടങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു – 1) ജ്യാമിതീയ ഘട്ടം 2) സമവാക്യ പരിഹാര ഘട്ടം 3) ചലനാത്മക ഏകദ (dynamic function) ഘട്ടം, 4) അമൂർത്ത ഘട്ടം. ഈ ലേഖനം ആദ്യത്തെ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഇന്നത്തെ ക്ലാസ് മുറികളിലെ അവയുടെ പ്രസക്തിയെക്കുറിച്ചും ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

സ്കൂൾ ബീജഗണിതത്തിന്റെ വലിയൊരു ഭാഗം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചു കൂടി ആണ് – വെറും സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചല്ല, അറിയാത്ത സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു. അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ കണക്കുകൂട്ടുന്ന അങ്കഗണിതത്തിൽ നിന്ന് ഇത് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?

ഉദാഹരണത്തിന്, അങ്കഗണിതത്തിൽ നമ്മോട് ഇങ്ങനെ ചോദിച്ചേക്കാം: 3 ന്റെ വർഗ്ഗത്തോട് 4 കൂട്ടുമ്പോൾ എന്തു കിട്ടും? സിമ്പിളായി, അത് \(3^2+4=13 \) ആണ്.

എന്നാൽ ബീജഗണിതത്തിൽ, നമുക്ക് ഉത്തരം തന്നെന്നു വരും – 13 – എന്നിട്ട് ചോദിച്ചെന്നു വരും: ഏത് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തോട് 4 കൂട്ടുമ്പോൾ 13 കിട്ടുന്നു? ഇത് \((?)^2+4=13\) എന്ന് എഴുതാം, പിന്നെ നമ്മൾ പിന്നിലേക്ക് കണക്കുകൂട്ടണം. ഇരുവശത്തുനിന്നും 4 കുറയ്ക്കുമ്പോൾ \((?)^2=9\) എന്നു കിട്ടും. അപ്പോൾ അറിയാത്ത ആ സംഖ്യ 3 ആയിരിക്കണം.

അറിയാത്ത ഒരു അളവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് വഴി തിരികെയാക്കുന്ന – ഈ പ്രക്രിയയാണ് സ്കൂൾ ബീജഗണിതത്തിന്റെ കാതൽ. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ട് വരെ, ബീജഗണിതം തീർത്തും ഇത്തരത്തിലുള്ള യുക്തിയിലായിരുന്നു വ്യാപരിച്ചിരുന്നത്. ലിയോണാഡ് ഓയ്‌ലർ ബീജഗണിതത്തെ “അറിയപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ച് അറിയാത്ത അളവുകൾ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് പഠിപ്പിക്കുന്ന ശാസ്ത്രം” എന്ന് വിളിച്ചു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, നമ്മൾ, ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരരീതികളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുകയും ആധുനിക സമീപനങ്ങളുമായി ഈ സങ്കേതങ്ങൾ എങ്ങനെ ശ്രദ്ധേയമായ സമാനതകൾ പുലർത്തുന്നുവെന്ന് ആരായുകയും ചെയ്യും. “അറിയാത്തത് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള” ഒരു ഉപകരണമായുള്ള ബീജഗണിതത്തിന്റെ ആദ്യകാല വികാസം പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ, സമകാലിക ക്ലാസ് മുറികളിൽ പുരാതന നിർദ്ധാരണങ്ങൾ എങ്ങനെ പ്രതിധ്വനിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു എന്ന് കാണുകയാണ് നമ്മുടെ ഉദ്ദേശ്യം. ഈ ചരിത്രപരമായ രീതികൾ നോക്കുന്നത് ആശയപരമായ ധാരണയുടെ ആഴം കൂട്ടുക മാത്രമല്ല, ഇന്ന് പലപ്പോഴും യാന്ത്രികമായി പഠിപ്പിക്കുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രൊസീജ്യറുകൾക്ക് പിന്നിലെ യുക്തി വെളിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു അർത്ഥതലx ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

തുടക്കത്തിന്റെ തുടക്കം – ജ്യാമിതിയിൽ വേരൂന്നിയത്:

ഓയ്‌ലറുടെ നിർവചനവുമായി ചേരുന്ന ഏറ്റം ആദിമമായ ബീജഗണിത ആശയങ്ങൾ (സമാന ആശയങ്ങൾ പ്രതിധ്വനിക്കുന്ന 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ മറ്റ് നിർവചനങ്ങളും) മെസൊപ്പൊട്ടേമിയയിൽ നിന്ന് വരുന്നത് പൊതുവർഷത്തിന് ഏകദേശം 4000 വർഷം മുമ്പു മുതലാണ്. പൊതുവർഷത്തിന് 2000 – 1700 വർഷം മുമ്പുള്ള കാലഘട്ടത്തിലെ കളിമൺ ഫലകങ്ങളിൽ ഭൂമി അളന്നു തിരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്, ഇവ ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും അവയുടെ നിർദ്ധാരണത്തിലേക്കും നയിക്കുന്നു. ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനായി സർവേയർമാർ ഒരു “കട്ട് ആൻഡ് പേസ്റ്റ്” ജ്യാമിതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, ഇതിലാണ് ബാബിലോണിയൻ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഉത്ഭവം. പൊതുവർഷത്തിന് 1800 വർഷം മുമ്പുള്ള ഒരു ടാബ്‌ലെറ്റിലെ പ്രശ്നവും അതിന്റെ പരിഹാരവും നോക്കൂ.

ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും തുക \(6\frac{1}{2}\) ഉം അതിന്റെ പരപ്പളവ് \(7\frac{1}{2}\) ഉം ആണ്. നീളവും വീതിയും കണ്ടെത്തുക. നിർദ്ദിഷ്ട തുകയും ഗുണനഫലവും ഉള്ള രണ്ട് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് ഇതിന്റെ ആധുനിക പരിഭാഷ.

\(x + y = 6\frac{1}{2} = b\), എന്നിരിക്കട്ടെ.  

\(xy = 7\frac{1}{2} = c\),എന്നും ഇരിക്കട്ടെ. x ഉം y ഉം കണ്ടെത്തുക. വ്യക്തമായും ഇതിൽ ഒരു ദ്വിമാന സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണം ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള നടപടിക്രമം പകർപ്പെഴുത്തുകാരൻ വിവരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

  1. \(6\frac{1}{2}\) പകുതിയാക്കി \(3\frac{1}{4}\) ആക്കുക.
  2. \(3\frac{1}{4}\) വർഗ്ഗം കണ്ട് \(10\frac{9}{16}\) ആക്കുക.
  3. ഈ പരപ്പളവിൽ നിന്ന് തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവ് \(7\frac{1}{2}\) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ \(3\frac{1}{16}\) കിട്ടുന്നു.
  4. ഈ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലം \(1\frac{3}{4}\) കാണുക
  5. നീളം \(3\frac{1}{4}+1\frac{3}{4}= 5\) ഉം വീതി \(3\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}= 1\frac{1}{2}\) – ഉം ആണ്.

ടാബ്‌ലെറ്റ് സൂക്ഷ്മമായി വായിക്കുമ്പോൾ എഴുത്തുകാരന്റെ മനസ്സിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ നടപടിക്രമം ഉണ്ടായിരുന്നതായി തോന്നും. ഇതേ നടപടിക്രമം ഒന്നിലധികം പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ആവർത്തിക്കുന്നതായി കാണാം. അതിനാൽ അതിനെ ഒരു പൊതു തത്വം എന്നു കരുതുന്നത് ന്യായമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. ഇനി നമ്മൾ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ആധുനിക ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ബാബിലോണിയൻ അൽഗോരിതം മാറ്റിയെഴുതാം.

ചിത്രം 1-ൽ ദീർഘചതുരം ABCD യുടെ പരപ്പളവ് \(c = 7\frac{1}{2}\)

\(AB =  x\) and \(BC = BX = y\) and \(AX = x + y  = b \) ഉം ആയിരിക്കട്ടെ .

മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ പരിഭാഷ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

  1. AX ന്റെ മധ്യബിന്ദു കണ്ടെത്തുക. ചിത്രത്തിൽ ഇത് P എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ AP യുടെ നീളം \(\frac{b}{2}= \frac{x+y}{2}= 3\frac{1}{4}\).
  2. AP വശമുള്ള ഒരു സമചതുരം നിർമ്മിക്കുക. ചിത്രത്തിൽ ഇത് APQR ആണ്,\(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 =\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 10\frac{9}{16}\). ആണ് ഇതിന്റെ പരപ്പളവ്.
  3. ഇതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ \(c =  7\frac{1}{2}\) എന്ന പരപ്പളവ് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് . നമ്മൾ രൂപപ്പെടുത്തിയ നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2- xy\) അല്ലെങ്കിൽ \(\left(\frac{b}{2}\right)^2 – c\) കണക്കാക്കണം. ഇതിനായി നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, അതായത് x ഉം yഉം, ഈ സമചതുരത്തിന്റെ വശവുമായി \(\frac{x + y}{2}\) എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം. \(\frac{b}{2}=\frac{x+y}{2}=\left(x -\frac{x-y}{2}\right) =\left( y +\frac{x-y}{2}\right )\).. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ദീർഘചതുരം ABCD യുടെയും സമചതുരം APQR യുടെയും പരപ്പളവുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം \(\frac{x -y}{2}\). ദൈർഘ്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗം മാത്രമാണ് എന്നു കാണാൻ കഴിയും. \(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2- xy = \left(\frac{x-y}{2}\right)^2\). അപ്പോൾ അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഘട്ടം 3ൽ നമുക്ക് \(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2\) കിട്ടുന്നു.
  4. ഘട്ടം 4-ൽ നമ്മൾ ഇതിന്റെ വർഗ്ഗമൂലം കണ്ടെത്തുന്നു \(\frac{x-y}{2}= 1\frac{3}{4}\).  നമ്മൾ ഇപ്പോൾ കണക്കാക്കിയത് \(\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}\) ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
  5. ഇനി ഘട്ടം 5, \(\frac{b}{2}+\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}\) യും ‘ \(\frac{b}{2}-\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}\) -യും കണക്കുകൂട്ടൽ മാത്രമാണ്.

പരിചിതമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുലയ്ക്ക് സമാനമായി, മുകളിൽ ചെയ്തതുപോലെയുള്ള ചിഹ്നങ്ങൾ ബാബിലോണിയക്കാർ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല എന്നത് നാം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിന്, ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു നടപടിക്രമമോ അൽഗോരിതമോ വാക്കുകളിലൂടെ വിവരിക്കുകയാണ് അവർ ചെയ്തത്, പിന്നെയത് മറ്റ് സംഖ്യകൾക്കും ആവർത്തിച്ച് ഉപയോഗിച്ചു. ആധുനിക നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുമ്പോൾ ബാബിലോണിയൻ അൽഗോരിതം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുലയാണ്. വാക്കുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഈ പ്രശ്നങ്ങളിലും സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങളിലും ബീജഗണിതത്തിന്റെ ആരംഭം നമുക്ക് കാണാം.

പ്രാഥമികമായി ജ്യാമിതിയുടെ പാഠമാണെങ്കിലും യൂക്ലിഡിന്റെ (പൊതുവർഷത്തിന് ഏകദേശം വർഷം മുമ്പ്) എലമെന്റ്സിൽ ചില ബീജഗണിത സങ്കൽപ്പങ്ങളും നമുക്ക് കാണാം. ഉദാഹരണത്തിന് പ്രമേയം II-5 പറയുന്നു, “ഒരു നേർവരയെ സമവും അസമവുമായ ഭാഗങ്ങളായി മുറിച്ചാൽ, അസമഖണ്ഡളുണ്ടാക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തോട് മുറിച്ച ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിലുള്ള വരയിലെ സമചതുരം ചേർത്താൽ, അത് വരയുടെ പകുതി കൊണ്ടുണ്ടാക്കുന്ന സമചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്.” അസമമായ ഖണ്ഡങ്ങൾ xഉം yഉം രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ ആകെ നീളം x + yഉം അവയുണ്ടാക്കുന്ന ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് xyഉം ആയി കരുതിയാൽ, യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയം ആധുനിക ചിഹ്നങ്ങൾ  ഉപയോഗിച്ച്,

\(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=  xy + \left(\frac{x-y}{2}\right)^2\)

എന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്യാം. മുകളിൽ വിവരിച്ച അവരുടെ അൽഗോരിതത്തിന്റെ മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ ബാബിലോണിയക്കാർ ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയ അടിസ്ഥാന ബന്ധവും ഇതുതന്നെയായിരുന്നു. പിൽക്കാല ഇസ്ലാമിക ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അവരുടെ അൽഗോരിതം സാധൂകരിക്കാൻ ഈ പ്രമേയം ഉദ്ധരിച്ചു.

സമവാക്യ പരിഹാരം – അറബ് അൽഗോരിതങ്ങൾ

ബാബിലോണിയൻ, ഗ്രീക്ക് ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ നാം കാണുന്ന “ബീജഗണിത” ത്തിന്റെ തുടക്കം ജ്യാമിതിയിൽ വേരൂന്നിയതാണ്. ഒടുവിൽ അൽഗോരിതങ്ങൾ ജ്യാമിതിയ്ക്ക് പകരം നില്ക്കാൻ തുടങ്ങി, ബീജഗണിതം സമവാക്യ പരിഹാര ഘട്ടത്തിലേക്ക് പരിണമിച്ചു. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ജ്യാമിതീയ പിന്തുണയില്ലാതെയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത്. അതുപോലെ, ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൂർണ്ണമായും സംഖ്യകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ഡയോഫാന്റസിന് (പൊതുവർഷം മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ട്) ഉണ്ടായിരുന്നു. ഐതിഹാസിക ഇസ്ലാമിക ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ മുഹമ്മദ് ഇബ്നു മൂസാ അൽ-ഖ്വാരിസ്മി എഴുതിയ ” അൽ-കിതാബ് അൽ-മുഖ്തസർ ഫി ഹിസാബ് അൽ-ജബ്ർ വൽ-മുഖാബല ” (പുനഃസ്ഥാപനവും ലോപനവും (Restoration and Reduction) വഴിയുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളെപ്പറ്റിയുള്ള സംക്ഷിപ്ത ഗ്രന്ഥം) എന്ന സമാഹാരത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള “അൽ-ജബ്ർ, അൽ-മുഖാബല ” പൊതു നിയമങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നു. ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് കുറച്ചിരിക്കുന്ന അളവ്, മറുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് അൽ-ജബ്ർ, അവിടെ അത് കൂട്ടേണ്ട അളവായി മാറുന്നു. അതേസമയം അൽ -മുഖാബല ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും തുല്യ അളവുകൾ കുറച്ചുകൊണ്ട് ഒരു ധന പദത്തിന്റെ കുറവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 

\(3x + 2 = 4 – 2x \) നെ \(5x + 2 = 4\) എന്നാക്കുന്നത് അൽ-ജബ്‌റിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ് , അതേസമയം രണ്ടാമത്തേതിനെ 5x = 2 ആക്കി മാറ്റുന്നത് ഒരു അൽ-മുഖാബലയുടെ ഉദാഹരണവും. നിരവധി സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമ്പ്രദായങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നതിനു പുറമേ, അൽ-ഖ്വാരിസ്മി പ്രശ്നങ്ങളെ തരംതിരിക്കുകയും ഓരോ തരം പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥാപിത സമ്പ്രദായങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു. അൽ-ഖ്വാരിസ്മി വേർതിരിച്ചു പറഞ്ഞ അഞ്ച് തരം ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങളും ആധുനിക ചിഹ്നങ്ങളിലെ അവയുടെ സമവാക്യങ്ങളും താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

  1. വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ വർഗ്ഗങ്ങൾ: (\(ax^2 = bx\))
  2. സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമായ വർഗ്ഗങ്ങൾ: (\(ax^2 = c\))
  3. സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമായ വർഗ്ഗങ്ങളും വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും: \((ax^2 + bx = c)\)
  4. വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ വർഗ്ഗങ്ങളും സംഖ്യകളും: \((ax^2 + c = bx)\)
  5. വർഗ്ഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും സംഖ്യകളും: \((bx + c = ax^2)\)

ഈ വിവരണങ്ങളിൽ, “വർഗ്ഗമൂലം” എന്നത് അതിനെക്കൊണ്ടുതന്നെ ഗുണിക്കേണ്ട അളവായി (അറിയാത്ത x) മനസ്സിലാക്കണം, അവ എണ്ണൽസംഖ്യകളോ ഭിന്നസംഖ്യകളോ ആകാം. “വർഗ്ഗം” എന്നത് മൂലത്തെ അതിനെക്കൊണ്ടുതന്നെ ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യയായി ( x 2 ) മനസ്സിലാക്കണം , പിന്നെ സംഖ്യ…അത്, ഏതു സംഖ്യയുമാകാം!

ഖ്വാരിസ്മിയുടെ കാലത്ത് ഋണ സംഖ്യകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല. മാത്രമല്ല, അളക്കുകയോഎണ്ണുകയോ ചെയ്യുന്ന യഥാർത്ഥ ജീവിത സന്ദർഭങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഉടലെടുത്തത്, അവിടെ നെഗറ്റീവ് അളവുകൾ അർത്ഥശൂന്യമായിരുന്നു. അതിനാലാണ് എല്ലാ ഗുണോത്തരങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണമെന്ന് നിർബന്ധമുണ്ടായതും തൽഫലമായി അഞ്ച് തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടായതും. നെഗറ്റീവ് ഗുണോത്തരങ്ങൾ അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ അഞ്ചു തരങ്ങളെയും ഒറ്റ തരമായി ചുരുക്കാം \(- ax^2 + bx + c = 0\), \(a \ne 0\) ആയിരിക്കെ. ഈ അഞ്ച് തരം സമവാക്യങ്ങളുടെയും ധനമൂലങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ ഖ്വാരിസ്മി വിവരിക്കുന്നുണ്ട്.

അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ പല പ്രശ്നങ്ങളും സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചാണ്, ജ്യാമിതിയിൽ നിന്ന് “അറിയാത്തത് കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കുള്ള” നീക്കത്തെ ഇത് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു – ഉദാഹരണത്തിന്:

ഞാൻ 10 നെ രണ്ടായി ഭാഗിച്ചു, ആദ്യഭാഗത്തിനെ രണ്ടാം ഭാഗം കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിനെ ആദ്യത്തേത് കൊണ്ടും ഹരിച്ചു. ഈ ഹരണഫലങ്ങളുടെ തുക \(2\frac{1}{6}\) ആണ്. ഭാഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

അല്ലെങ്കിൽ

വർഗ്ഗത്തിനോട് 21 യൂണിറ്റുകൾ കൂട്ടുമ്പോൾ തുക 10 മൂലങ്ങൾക്ക് തുല്യമാകുന്ന വർഗ്ഗം ഏതാണ്? \( (x^2 + 21 =10x\), മുകളിലെ നാലാമത് തരം)

അല്ലെങ്കിൽ

പത്ത് മൂലങ്ങളുമായി ചേരുമ്പോൾ ആകെ 39 ആകുന്ന വർഗ്ഗം ഏതാണ്? \((x^2 + 10x = 39\), മുകളിലെ മൂന്നാമത് തരം)

ഈ മൂന്നാം തരം പ്രശ്നം ഖ്വാരിസ്മി എങ്ങനെ പരിഹരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

“ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വഴി, ഇപ്പറഞ്ഞ മൂലങ്ങളുടെ പകുതി എടുക്കുകയാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ മുന്നിലുള്ള പ്രശ്നത്തിൽ 10 മൂലങ്ങളാണ്. അതിനാൽ 5 എടുക്കുക, അതിനെ അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഗുണിച്ചാൽ 25 കിട്ടും, ഇതിനെ നിങ്ങൾ 39നോട് കൂട്ടുക. അപ്പോൾ 64 കിട്ടും. തുടർന്ന് ഇതിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ 8 എടുത്ത്, അതിൽ നിന്ന് മൂലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ പകുതി ആയ 5 കുറയ്ക്കുക, 3 ബാക്കിയാകും. അതുകൊണ്ട്, മൂന്ന് എന്ന സംഖ്യ ഈ വർഗ്ഗത്തിന്റെ, തീർച്ചയായും 9 ആണത്, ഒരു മൂലത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ വർഗ്ഗം 9 എന്നു കിട്ടുന്നു.” 

അൽഗോരിതം പൂർണ്ണമായും വാക്കാലുള്ളതാണ്, അതിൽ ചിഹ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല. അൽഗോരിതം എഴുതിയ ശേഷം, അതിനെ സാധൂകരിക്കാൻ അൽ-ഖ്വാരിസ്മി ഒരു കട്ട് ആൻഡ് പേസ്റ്റ് ജ്യാമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരിശോധിച്ചുറപ്പിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ വായനക്കാരൻ ഉചിതമായ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് അൽ-ഖ്വാരിസ്മി പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ചിത്രം 2(a)-ൽ, “വർഗ്ഗ”ത്തിന്റെയും ( x 2 ) 10 മൂലങ്ങളുടെയും (വശങ്ങൾ xഉം 10ഉം ആയ ദീർഘചതുരം ) ആകെത്തുക 39 ആയി നൽകിയിരിക്കുന്നു. ദീർഘചതുരം 5x വീതമുള്ള രണ്ട് കഷണങ്ങളായി മുറിക്കുകയും, ചിത്രത്തിന്റെ ഭാഗം (b)-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അവയെ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, പരപ്പളവ് 25 ഉള്ള ഒരു സമചതുരം ചേർത്ത്, 39 ന്റെ പരപ്പളവിനെ 64 ന്റെ സമചതുരത്തിലേക്ക് “പൂർത്തിയാക്കാം”. ഈ ചതുരത്തിന്റെ വശം 8 ആണ്, അത് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് “മൂലം” 3 ആയി കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ മൂലം, -13 ഇവിടെ അവഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ദ്വിമാന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പഠിപ്പിക്കുന്ന, “വർഗ്ഗം പൂർത്തിയാക്കൽ” രീതിയിലേക്ക് ഈ ജ്യാമിതീയ സാധൂകരണം ഒരു ഉൾക്കാഴ്ച നൽകുന്നു.

ഇതിനെ തുടർന്ന്, പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ കാർഡാനോയും മറ്റുള്ളവരും ത്രിമാന, ചതുർമാന സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസ്സിലാക്കി. ഈ ഘട്ടത്തിൽ പോലും, ബീജഗണിതം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ളതായിരുന്നു. എന്നാൽ  വാക്കുകൾ ചുരുക്ക രൂപങ്ങളായും ഒടുവിൽ ചിഹ്നങ്ങളായും ഉപയോഗിക്കപ്പെട്ടു. ഈ സമയത്ത്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉത്തരം വെറും സംഖ്യയല്ലാത്ത തരം ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാൻ തുടങ്ങി. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗ്രഹങ്ങളുടെയോ ഒരു പ്രക്ഷേപിതത്തിന്റെയോ (projectile) പാത കണ്ടെത്തുന്നത്, അവിടെ ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യയല്ല, മുഴുവൻ വക്രമാണ്. ദെക്കാർത്തെയുടെ സൂചകസംഖ്യാ (coordinate) ജ്യാമിതി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ചലനത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം നൽകി, ഇത് ന്യൂട്ടണും ലെയ്ബ്നിസും ചേർന്ന് കാൽക്കുലസ് വികസിപ്പിക്കുന്നതിലേക്കും, ബീജഗണിതത്തിന്റെ “ചലനാത്മക ഏകദ” ഘട്ടത്തിലേക്കും നയിച്ചു. ഈ അവസാന ഘട്ടങ്ങൾ പിന്നീടുള്ള ഒരു ലേഖനത്തിനായി വിടാം. ത്രിമാന, ചതുർമാന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ഋണ സംഖ്യകളുടെയും സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെയും വികാസത്തിലേക്ക് നയിച്ചുവെന്നത് ഇവിടെ പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല പലപ്പോഴും വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മനഃപാഠമാക്കാനും ചോദ്യങ്ങളില്ലാതെ പ്രയോഗിക്കാനുമുള്ള ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ഉപകരണമായി കൈമാറപ്പെടുന്നു. അതിന്റെ പശ്ചാത്തലം ഒഴിവാക്കിയാൽ, അത് നിഗൂഢമായോ വസ്തുനിഷ്ഠമല്ലാത്തതായോ തോന്നാം. എന്നാൽ, ബാബിലോണിയൻ എഴുത്തുകാരുടെ ജ്യാമിതീയ യുക്തിയിൽ നിന്ന്, അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ വാചിക അൽഗോരിതങ്ങളിലൂടെ, ചിഹ്നങ്ങളുപയോഗിക്കുന്ന ആധുനികരൂപം വരെയുള്ള അതിന്റെ പരിണാമം അനാവൃതമാകുമ്പോൾ, സൂത്രവാക്യത്തിന് അടിയിലുള്ള പൊരുളിന്റെ സമ്പുഷ്ടമായ അടരുകൾ നാം കണ്ടെത്തുന്നു. അതിന്റെ ചരിത്രപരവും ജ്യാമിതീയവുമായ വേരുകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് മനസ്സിലാക്കൽ മെച്ചപ്പെടുത്തുക മാത്രമല്ല, മുകളിൽ നിന്ന് അടിച്ചേൽപ്പിക്കപ്പെട്ട നിയമങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചല സംഘാതമായിട്ടല്ലാതെ, നൂറ്റാണ്ടുകളിലൂടെ രൂപപ്പെട്ട ഒരു മാനവ പരിശ്രമമായി ബീജഗണിതത്തെ കാണാനും വിദ്യാർത്ഥികളെ സഹായിക്കുന്നു.

റഫറൻസുകൾ:

  1. Katz, V. J., & Barton, B. (2007). Stages in the history of algebra with implications for teaching. Educational studies in mathematics, 66, 185-201.
  2. Arcavi, A., Drijvers, P., & Stacey, K. (2016). The learning and teaching of algebra: Ideas, insights and activities. Routledge.

Dr. Jayasree Subramanian

TIFR ന്റെ കീഴിലുള്ള Homi Bhabha Centre for Science Education-ൽ ഗണിത ശാസ്ത്ര വിദ്യാഭ്യാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗവേഷണത്തിൽ ഭാഗമായി. ഇപ്പോൾ പാലക്കാട് ഐ.ഐ.ടി.യുടെ ഔട്ട്റീച്ച് ടീമിനൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Packet 10 -June 2025

വിഷയങ്ങൾ

⚛️ ഫിസിക്സ് →

🧪 കെമിസ്ട്രി →

🦠 ബയോളജി →

♾ ഗണിതം →

💻വിവര സാങ്കേതിവിദ്യ →

♾ കവർസ്റ്റോറി →

💻പഠന സാധ്യതകൾ →

📝Teachers Notes →

✏️ പരിശീലനങ്ങൾ →

📚പുസ്തക പരിചയം →