ചരിവുകളും ഛായകളും മുതൽ സൈനുകളും കോസൈനുകളും വരെ – ത്രികോണമിതിയുടെ പരിണാമം

ത്രികോണമിതിയുടെ ചരിത്രം

ഇന്ന് നാം തിരിച്ചറിയുന്ന ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ വികാസത്തിനും വളരെ മുമ്പ്, ആദ്യകാല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ത്രികോണങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചിരുന്ന പ്രാചീന നാഗരികതകളിൽ തുടങ്ങുന്നു. ത്രികോണമിതിയുടെ വേരുകൾ പുരാതന ഈജിപ്തിലെ റൈൻഡ് പാപ്പിറസിൽ കാണുന്ന, പിരമിഡിൻ്റെ പാർശ്വമുഖചരിവ് കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട  പ്രശ്‌നങ്ങളിലേക്കും കോണുകളും ദൂരങ്ങളും അളന്ന് ഖഗോള പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിച്ച ആര്യഭടനെപ്പോലുള്ള ഇന്ത്യൻ പണ്ഡിതരുടെയും ഹിപ്പാർക്കസ് തുടങ്ങിയ ഗ്രീക്ക് പണ്ഡിതരുടെയും ജ്യോതിശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്കും എത്തുന്നു. ഒരു ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥിയെ സംബന്ധിച്ച് ഒരു പക്ഷേ ത്രികോണമിതിയുടെ വ്യവച്ഛേദക സവിശേഷതയായ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങൾ ഈ ആദ്യകാല ശ്രമങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. ലഭ്യമായ അളവുകൾ വച്ച് ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റളവുകൾ കണ്ടെത്തി യഥാർത്ഥ ലോകത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനായി ‘ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർധാരണം’ എന്ന് നമ്മൾ ഇപ്പോൾ വിളിക്കുന്ന കാര്യങ്ങളിലായിരുന്നു അവർ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചത്. പ്രായോഗിക ഭൗതിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള ജ്യാമിതിയുടെയും കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെയും ഒരു മിശ്രിതമായി ത്രികോണമിതി പരിണമിച്ചു. നമുക്ക് ത്രികോണമിതിയുടെ ഈ ആദ്യകാല മുൻഗാമികളെ പരിചയപ്പെടാം.

ഈജിപ്ഷ്യൻ ‘സെക്കിഡ്’

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരമടങ്ങിയ ഒരു പുരാതന ഈജിപ്ഷ്യൻ ചുരുളാണ്, പൊതുവർഷത്തിന് 1700 മുതൽ 1550 വരെ വർഷം മുമ്പുള്ള റിൻഡ് പാപ്പിറസ്. നൈൽ താഴ്‌വരയിൽ നിന്ന് ഈ ചുരുൾ വാങ്ങിയ സ്കോട്ടിഷ് പുരാവസ്തു സമാഹർത്താവിൽ നിന്നാണ് ഇതിന് ഈ പേരു കിട്ടിയത്. പൊതുവർഷത്തിന് 1650 വർഷം മുമ്പ് ഇത് പകർത്തിയ എഴുത്തുകാരന്റെ പേരിൽ ഇതിനെ അഹ്‌മെസ് പാപ്പിറസ് എന്നും പറയാറുണ്ട്. അക്കാലത്ത് ഈജിപ്തിൽ നിലനിന്നിരുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉൾക്കാഴ്ചകൾ നൽകുന്ന പ്രധാന ഉറവിടം ഈ രേഖയാണ്. റിൻഡ് പാപ്പിറസിന്റെ ആദ്യഭാഗം റഫറൻസ് ടേബിളുകളും അങ്കഗണിതത്തിലെയും ബീജഗണിതത്തിലെയും നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. രണ്ടാം ഭാഗത്തിൽ ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ 56 മുചൽ 60 വരെയുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ളവയാണ്. ഇവ പിരമിഡുകളെ സംബന്ധിച്ചള്ളവയാണ്, ഇവയെല്ലാം സെക്കിഡ് എന്ന വാക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നവയുമാണ്.

പ്രശ്നം 56 ചോദിക്കുന്നു, “ഒരു പിരമിഡിന് 250 മുഴം ഉയരവും അതിന്റെ അടിത്തറയുടെ വശത്തിന് 360 മുഴം നീളവുമുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ സെക്കിഡ് എത്രയാണ്?

പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇപ്രകാരമാണ് (ചിത്രം 1). 360 ന്റെ \(\frac{1}{2}\), 180 ആണ്. 180 ലഭിക്കത്തക്ക രീതിയിൽ 250-നെ ഗുണിക്കുക. എല്ലാ ഭിന്നങ്ങളെയും യൂണിറ്റ് ഭിന്നങ്ങളുടെ തുകയായി എഴുതുന്ന ഈജിപ്ഷ്യൻ സമ്പ്രദായമനു,രിച്ച്, ഇത് \(\frac{1}{2}\) ഉം \(\frac{1}{5}\) ഉം \(\frac{1}{50}\) ഉം ആയി എഴുതുന്നു. ഈ തുക \(\frac{ 18}{25}\) വരും. പിരമിഡിന്റെ ബെയ്സിനും പാർശ്വമുഖത്തിനും ഇടയിലെ കോണിൻ്റെ കോട്ടാൻജന്റ് ആണ് അത്. ഈജിപ്തുകാർ ലംബദൂരം അളക്കാൻ  മുഴത്തിന്റെ ഏഴിലൊന്നായ കൈപ്പത്തി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ ഇതിനെ പിന്നീട് 7 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഒടുവിൽ \(5\frac{1}{25}\) കൈപ്പത്തി/മുഴം എന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. (യൂണിറ്റുകൾ ഒന്നുതന്നെ ആയിരുന്നെങ്കിൽ ഈ അളവ് യൂണിറ്റില്ലാത്ത വെറും സംഖ്യയായിരുന്നേനെ.)

അടുത്ത പ്രശ്നം, ബെയ്സിന്റെ വശവും സെക്കിഡും നല്കിക്കൊണ്ട് പിരമിഡിന്റെ ഉയരം ചോദിക്കുന്നു. പിരമിഡുകളുടെ സെക്കിഡുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രണ്ട് പ്രശ്‌നങ്ങൾ കൂടിയുണ്ട്, മറ്റൊന്ന് സ്തംഭത്തിൻ്റെ സെക്കിഡുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. സെക്കിഡ് അല്ലെങ്കിൽ ആധുനിക സംജ്ഞയിൽ കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്ന ആശയം പുരാതന ഈജിപ്തിൽ പേരിട്ടു വിളിക്കാനും മാത്രം പ്രാധാന്യമുള്ളതായിരുന്നു, കൂടാതെ ഇതിന് റിൻഡ് പാപ്പിറസിൽ 5 പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് അർഹതയുണ്ടായി. ഒരുപക്ഷേ അത് ആശയത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോജനം കൊണ്ടായിരിക്കാം. പിരമിഡിൻ്റെ പാർശ്വമുഖങ്ങൾക്കെല്ലാം തിരശ്ചീനദിശയുമായി ഒരേ ചരിവാണുള്ളതെന്ന് പിരമിഡ് നിർമ്മാതാക്കൾ ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് പിരമിഡിൻ്റെ ഓരോ മുഖത്തിനും സെക്കിഡ് തുല്യമായിരിക്കണം. ചരിവുള്ള ഒരു നിർമ്മിതിയിൽ, കൂടുന്ന ഓരോ യൂണിറ്റ് ഉയരത്തിനും ലംബ വരയിൽ നിന്നുള്ള തിരശ്ചീന വ്യതിയാനം അളക്കുന്നത് സാധാരണ വാസ്തുവിദ്യാ രീതിയാണ്. ഇത് നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചരിവിൻ്റെ പരിചിതമായ അളവിൻ്റെ അഥവാ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഗുണനവിപരീതമാണ്.

ഈജിപ്തുകാർക്ക് ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളെക്കുറിച്ച് ധാരണയുണ്ടായിരുന്നു എന്നു പറയാനല്ല, ഇതെല്ലാം! അവരുടെ രചനകളിൽ ഒരിടത്തും കോൺ എന്ന ആശയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നില്ല, അതു കൊണ്ടുതന്നെ, ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവുണ്ടോ എന്ന ചോദ്യം  ഉദിക്കുന്നുമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈജിപ്തുകാർക്ക് പ്രായോഗികമായി ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള അസംസ്കൃതമായ അറിവോ, കുറഞ്ഞപക്ഷം ത്രികോണമിതിയുടെ ഒരു ആദിമ രൂപത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണകളോ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു സമ്മതിക്കുന്നത് ന്യായമായിരിക്കും.

കോണളവും നോമോണും (Gnomon)

കോണളവിന്റെ സാധാരണ യൂണിറ്റായ ഡിഗ്രി 300 ബിസിയിൽ ബാബിലോണിയയിൽ ഉത്ഭവിച്ചതാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഇന്ന് നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന 360 ഡിഗ്രി കോണുകളുടെ സമ്പ്രദായം വൃത്തത്തെ 360 ഭാഗങ്ങളാക്കുന്ന ബാബിലോണിയൻ വിഭജനത്തിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിച്ചതായിരിക്കാനാണിട. അവർ പിന്തുടർന്ന 60 ബെയ്‌സായ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായവുമായി ഇത് നന്നായി യോജിക്കുന്നു. ബാബിലോണിയക്കാർ കുത്തനെയുള്ള ഒരു വടി ഉപയോഗിച്ച് നിഴലിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സമയം പറയാൻ നോമോൺ എന്ന ഉപകരണവും ഉപയോഗിച്ചു.

മൈലീറ്റസിലെ തെയ്‌ലീസ് (പൊതുവർഷത്തിന് ഏകദേശം 640-546 വർഷം മുമ്പ്) ഒരു പിരമിഡിൻ്റെ ഉയരം, അതിൻ്റെ നിഴൽ ഒരു നോമോണിൻ്റെ നിഴലുമായി താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് തിട്ടപ്പെടുത്തിയതായി രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചില്ലെങ്കിലും, അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ച, സമാന ത്രികോണ ജോടിയിലെ അനുപാതങ്ങൾക്ക് മാറ്റമുണ്ടാവില്ല എന്ന തത്വം ത്രികോണമിതിയുടെ അകക്കാമ്പിലുള്ളതാണ്.

ഗ്രീക്ക് ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രം

ആകാശത്തിലൂടെയുള്ള സൂര്യ ചന്ദ്രന്മാരുടെയും നക്ഷത്രങ്ങളുടെയും ഗ്രഹങ്ങളുടെയും നീക്കം പുരാതന കാലം മുതൽ മനുഷ്യരെ ആകർഷിച്ചിട്ടുണ്ട്. പല പ്രാചീന നാഗരികതകളും ചിട്ടയായി ആകാശത്തെ നിരീക്ഷിക്കുകയും കണ്ടത് വിവരിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്ര പദ്ധതികൾ ആവിഷ്കരിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അവർക്ക് പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ മാതൃക ഏകകേന്ദ്രിതമായ രണ്ട് ഗോളങ്ങളായിരുന്നു – ഭൂമിയും ഖഗോളവും. സൂര്യ ചന്ദ്ര ഗ്രഹ താരങ്ങൾ ഈ ഗോളോപരിതലത്തിൽ നീങ്ങുകയും ഖഗോളം തന്നെ ദിവസത്തിൽ ഒരിക്കൽ കറങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു. സൂര്യൻ ഈ ഗോളത്തിൻ്റെ വൻ വൃത്തത്തിലൂടെ (ക്രാന്തിവൃത്തം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന) ഒരു വർഷത്തിൽ 360^o  താണ്ടുന്നു. ഗ്രഹങ്ങൾ ഈ ക്രാന്തിവൃത്തത്തോടുത്ത പാതയിൽ നീങ്ങുന്നു. ഈ ചലനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഋതുക്കളും പകലും രാത്രിയും വിശദീകരിക്കപ്പെട്ടു.

1. ആകാശഗോളങ്ങളുടെ ക്രമമായ ചലനങ്ങൾ സമയം അളക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗവും അതുവഴി നമ്മുടെ ആദ്യത്തെ ക്ലോക്കുകളും കലണ്ടറും നൽകി,
2. നാവികരും പര്യവേക്ഷകരും വഴികണ്ടെത്താൻ ആകാശഗോളങ്ങളുടെ സ്ഥാനങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചു,
3. ആകാശഗോളങ്ങളുടെ ചലനം ഭൂമിയിലെ സംഭവങ്ങളെ സ്വാധീനിക്കുമെന്ന വിശ്വാസം,

എന്നിവയായിരുന്നു, ഖഗോള പ്രതിഭാസങ്ങളിലുള്ള ഈ ഉൽക്കട താൽപ്പര്യത്തിന് പ്രേരകമായ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ. പരിമാണപരമായ അളക്കലും നീളങ്ങളുടെ പരിവർത്തനവും ഉൾപ്പെടുന്നതും നമ്മുടേതിന് സമാനമാണെന്ന് നമുക്ക് തിരിച്ചറിയാവുന്നതുമായ രൂപത്തിലുള്ള ത്രികോണമിതിയുടെ ഉത്ഭവം, ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പാരിമാണിക ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ (quantitative astronomy) ആദ്യ ഘട്ടങ്ങളിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

ബിസി രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗ്രീക്ക് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹിപ്പാർക്കസ്, ഗ്രഹണ സമയവും മറ്റ് ആകാശ സംഭവങ്ങളും പ്രവചിക്കാൻ വിപുലമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നതായി കരുതപ്പെടുന്നു. ഇതിന് ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളെ ബാധിക്കുന്ന ഒരു വശം, രണ്ട് വിഷുദിന സ്ഥാനങ്ങൾക്കും സോളിസ്റ്റിസ് സ്ഥാനങ്ങൾക്കും ഇടയിലുള്ള ചാപങ്ങൾ താണ്ടാൻ സൂര്യൻ വ്യത്യസ്ത സമയമെടുക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഭൂമിയെ ചുറ്റിയുള്ള സൂര്യൻ്റെ ഭ്രമണ വേഗത (നാം ഇപ്പോൾ ഭൗമകേന്ദ്ര മാതൃകയിലാണെന്ന് ഓർക്കുക!) സ്ഥിരമല്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഭൂമിയെ ഖഗോളകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് e ദൂരം നീക്കി മാതൃക പരിഷ്കരിച്ചുക്കൊണ്ട് ഹിപ്പാർക്കസ് ഈ പ്രകടമായ അപാകത പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. ഇത്, സൂര്യൻ ഒരു ദിവസം 1^o  സഞ്ചരിക്കുന്നു എന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കോണീയ വേർതിരിവ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കുന്ന പ്രശ്നം സൃഷ്ടിച്ചു. പൂർണ്ണമായും ജ്യാമിതീയ മാർഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഹിപ്പാർക്കസ് ഉണ്ടാക്കിയ ഒരു പട്ടികയിൽ കോണുകളുടെ ഞാൺ ദൈർഘ്യം കാണാം.

ചിത്രം 2-ൽ കാണുന്നത് പോലെ ɑ അളവുള്ള ഒരു കോണിൻ്റെ ആന്തര ഞാണിൻ്റെ നീളം \(2R\sin\frac{\alpha}{2}\) ആണ്.

 \(7\frac{1}{2}^\circ\) യുടെ ഗുണിതങ്ങൾക്കാണ് ഹിപ്പാർക്കസ് ഇത് പട്ടികപ്പെടുത്തിയത്. എന്നാൽ പട്ടിക ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലല്ല, വൃത്തത്തിൻ്റെ \(\frac{1}{24}\) വീതമുള്ള പടവുകളിലായിരുന്നു. 3438 ആണ് R-ന് അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ച വില – ഇത് വിചിത്രമായി തോന്നുമെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ ഒരു തെരഞ്ഞെടുപ്പാണ്. പിൽക്കാല ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ഉപയോഗിച്ചത് ഇതേ R തന്നെയായിരുന്നു. ഹിപ്പാർക്കസിൻ്റെ ഞാൺ പട്ടിക (table of chords) ത്രികോണമിതി പട്ടികകളുടെ ആദ്യ പൂർവ്വികനായിരുന്നിരിക്കണം, ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാനായി നിർമ്മിച്ചതാണ് അത്. അവ 12 വാല്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു. അവയൊന്നും നമ്മുടെ കാലം വരെ നിലനിന്നില്ല. ഹിപ്പാർക്കസിൻ്റെ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്കറിയാവുന്ന മിക്ക കാര്യങ്ങളും ഏകദേശം മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് ശേഷം എഴുതിയ ടോളമിയുടെ അൽമജെസ്റ്റിലെ വിവരങ്ങളിൽ നിന്നാണ് .

 പൊതുവർഷം രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ടോളമി ഹിപ്പാർക്കസിന്റെ ഉദ്യമം വിപുലപ്പെടുത്തുകയും \(\frac{1}{2}^\circ\)-യുടെ ഗുണിതങ്ങൾക്കുള്ള ഞാൺദൈർഘ്യം ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു . ഹിപ്പാർക്കസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായി, ടോളമി വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരത്തിന് 60 എന്ന മൂല്യം ഉപയോഗിച്ചു, 60 ബെയ്‌സായ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം (സെക്‌സാജസിമൽ) ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന അദ്ദേഹത്തിന് ഇത് സൗകര്യപ്രദമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പായിരുന്നു. ചിത്രത്തിലെ പട്ടികയുടെ ഇടത് പകുതി (ചിത്രം 3) ഗ്രീക്കിലാണ്, അക്കങ്ങൾ സെക്‌സാജസിമൽ സിസ്റ്റത്തിലാണ്. ഇൻഡോ-അറബിക് അക്കങ്ങളിലേക്കുള്ള വിവർത്തനമായ വലത് പകുതിയിൽ നിന്ന്, ആരം 60 ആയ വൃത്തത്തിൽ 7^o കോണിന്റെ ആന്തരഞാൺ ദൈർഘ്യം  7;19,33എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നതായി നമ്മൾ കാണുന്നു. ഇത് നമ്മുടെ നിലവിലെ രീതിയിൽ \(7+\frac{19}{60}+\frac{33}{60^2}\) , അതായത് ഏകദേശം 7.32583 വരും; അഞ്ച് സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്താൽ ഞാണിൻ്റെ യഥാർത്ഥ നീളം 7.32582 ആണ്. തികച്ചും ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു നേട്ടം!

sixtieths എന്ന് പേരിട്ടിരിക്കുന്ന കോളം ഒരു ഞാൺദൈർഘ്യത്തിൽ നിന്ന് അടുത്തതിലേക്കുള്ള ശരാശരി വർദ്ധനവ് നൽകുന്നു. ഞാൺദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ എൻട്രികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ 30 കൊണ്ട് (ആർക്ക് മിനിറ്റിലെ കോണുകളിലെ വ്യത്യാസം) ഹരിച്ചതാണിത്. ഇൻ്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യാനും പട്ടികയിൽ ഇല്ലാത്ത കോണുകളുടെ ഞാൺദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താനും ഇത് നമ്മളെ സഹായിക്കുന്നു.

ഇന്ത്യയിലെ ത്രികോണമിതി

പതിവനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിലെ പൈതാമഹാസിദ്ധാന്തമാണ് ‘അർദ്ധഞാണുകളുടെ’ പട്ടികയുള്ള ആദ്യകാല ഇന്ത്യൻ കൃതി. അർദ്ധഞാണുകൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നത് ഞാൺദൈർഘ്യം കിട്ടുമ്പോൾ ത്രികോണങ്ങൾ നിർധാരണം ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയ എളുപ്പമാക്കി. ഇന്ത്യൻ പട്ടികകളിലും ഹിപ്പാർക്കസ് ഉപയോഗിച്ചതിന് സമാനമായി R = 3438 ഉപയോഗിച്ചു. കൂടാതെ \(3\frac{3}{4}^\circ\) അല്ലെങ്കിൽ വൃത്തത്തിൻ്റെ \(\frac{1}{48}\)-ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾക്കായി അർദ്ധഞാൺ ദൈർഘ്യം പട്ടികപ്പെടുത്തി. അർദ്ധഞാണുകൾക്ക് ഉപയോഗിച്ച പദം അർദ്ധ-ജ്യാ അഥവാ ജ്യാ-അർദ്ധ ആയിരുന്നു, ആര്യഭട്ട അത് ജ്യാ അല്ലെങ്കിൽ തത്തുല്യമായി ജിവ എന്ന പദമായി ചുരുക്കി. ഇന്ത്യൻ കൃതികൾ അറബിയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെട്ടപ്പോൾ, ഇത് ഉച്ചാരണം മാത്രം പരിഗണിച്ച് അർത്ഥശൂന്യമായ ജിബ എന്ന പദമായി വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെട്ടു, അത് ഒടുവിൽ ലാറ്റിനിൽ ‘സൈനസ്’ അല്ലെങ്കിൽ ‘സൈൻ’ ആയി മാറി.

സൈൻ ടേബിളുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി ആര്യഭടീയം വിവരിക്കുന്നുണ്ട്, \(\sin(3\frac{3}{4}\times m)\) ൻ്റെ mth sine, \(s_m\) ആണെങ്കിൽ അത്

\(s_n= s_{n-1} + \left(s_1-\frac{s_1+s_2 +… +s_{n-1}}{s_1}\right)\) എന്നെഴുതാം. പൂരകകോണിന്റെ സൈൻ കണക്കാക്കേണ്ടി വന്നപ്പോഴാണ് കൊസൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ, ഉടലെടുത്തത്. ആര്യഭട്ട അതിനെ കോടിജ്യ എന്ന് വിളിച്ചു. കൂടാതെ ഉത്ക്രമ-ജ്യാ എന്ന മറ്റൊരു ഫംഗ്‌ഷനെ R-cosΘ എന്ന് നിർവചിക്കുകയും ഋണ മൂല്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്തു.

ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ത്രികോണമിതിയിൽ കാര്യമായ സംഭാവനകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട് – ഭാസ്കരൻ രണ്ടാമൻ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയ്‌ക്ക് സങ്കലന-വ്യവകലന സൂത്രവാക്യം നൽകി, വരാഹമിഹിരൻ അർദ്ധകോണ സൂത്രവാക്യം നൽകി, ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ സൈനുകളുടെ നിയമം നൽകി, കേരള സ്‌കൂൾ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സിലെ ജ്യേഷ്ടദേവനാണ് സൈൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള വർഗശ്രേണീ വിപുലീകരണങ്ങൾ (power series expansions) കണ്ടെത്തിയതെന്നും കരുതപ്പെടുന്നു.

പിന്നെ, അറബികളും യൂറോപ്യന്മാരും

ശേഷിക്കുന്ന അഞ്ച് ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സമീപകാല ചരിത്രമുണ്ട്. ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് അനുപാതങ്ങൾ, നോമോണിൻ്റെയും നിഴലിന്റെയും കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നിന്നാണ് ഉത്ഭവിച്ചത്. എന്നാൽ ഈ അനുപാതങ്ങളെ ഒരു കോണിൻ്റെ ഏകദങ്ങളായി കണക്കാക്കിത്തുടങ്ങിയത് അറബികളാണ്. സീക്കൻ്റ്, കൊസീക്കൻ്റ് എന്നീ ഏകദങ്ങൾ അതിനും ശേഷമാണ് നിലവിൽ വന്നത്. അറബ് പണ്ഡിതനായ അബു അൽ-വഫ അൽ-ബുജാനിയുടെ (അബുൽ വഫ 940-998) കൃതികളിൽ പ്രത്യേക പേരുകളില്ലാതെ അവ ആദ്യം പരാമർശിക്കപ്പെട്ടു . അബുൽ വഫ ഉപയോഗത്തിലുണ്ടായിരുന്ന വ്യത്യസ്ത ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് കൊണ്ടുവരികയും ആദ്യമായി ആറ് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തു. ഹിപ്പാർക്കസ്, ടോളമി, ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എന്നിവരിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി അദ്ദേഹം യൂണിറ്റ് വൃത്തത്തെ അടിസ്ഥാനമായി ഉപയോഗിച്ചു.

അറബ് വിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ക്രമേണ യൂറോപ്പിലേക്ക് വ്യാപിച്ചു. റിജിയോമോണ്ടാനസ് (1436-1476) ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ സമഗ്രമായ ഗ്രന്ഥം രചിച്ചു – ഡി ട്രയാംഗുലിസ് ഒമ്നിമോഡിസ് (എല്ലാ തരത്തിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളെയും കുറിച്ച്). അടിസ്ഥാന ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് സൈൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് നയിച്ചുകൊണ്ട് അദ്ദേഹം വിഷയം വികസിപ്പിച്ചു. എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും നിർധാരണവും, സൈൻ, കോസൈൻ നിയമങ്ങളും, ത്രികോണ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് \(\frac{1}{2}ab\sin C\) എന്ന സൂത്രവാക്യവും പുസ്തകം വിശദീകരിച്ചു . അക്കാലത്തെ ത്രികോണമിതിയെ ഏറ്റവും സ്വാധീനിച്ച കൃതിയാണ് ഡി ട്രയാംഗുലിസ്. ബർത്തലോമസ് പിറ്റിസ്‌കസിൻ്റെ (1561–1613) Trigonometriae sive de dimensione triangulorum libri quinque (ത്രികോണമിതിയെപ്പറ്റി, അല്ലെങ്കിൽ, ത്രികോണങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷങ്ങളെക്കുറിച്ച്, അഞ്ച് പുസ്തകങ്ങളിൽ) എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ തലക്കെട്ടിൽ ത്രികോണമിതി എന്ന പദം വരാൻ മറ്റൊരു നൂറ്റാണ്ട് വേണ്ടിവന്നു.

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിനുശേഷം, പ്രതീകാത്മക ബീജഗണിതത്തിൻ്റെയും (symbolic algebra) കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതിയുടെയും വികാസത്തോടെ, ത്രികോണമിതിക്ക് ഒരു വിശകലന സ്വഭാവവും ലഭിച്ചു.

ത്രികോണമിതിയുടെ ചരിത്രം സമ്പന്നവും വൈവിധ്യപൂർണ്ണവുമാണ്, നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ പുരാതന നാഗരികതകളിൽ നിന്നുള്ള സംഭാവനകൾ അതിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു. ഇക്കാരണത്താൽ തന്നെ അതിന് ഒരു രേഖീയ വിവരണം നൽകുന്നതും ഏതെങ്കിലും ത്രികോണമിതി ആശയത്തിന്റെ തനതായ ഉത്ഭവമോ ആവിഷ്കർത്താവിനെയോ കണ്ടെത്തുന്നതും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഗ്രീക്കുകാരുടെ ജ്യാമിതീയ ഉൾക്കാഴ്ചകൾ മുതൽ ബാബിലോണിയരുടെ ജ്യോതിശാസ്ത്ര മുന്നേറ്റങ്ങളും, ഇന്ത്യൻ പണ്ഡിതരും ഇസ്ലാമിക് പണ്ഡിതരും സ്ഫുടംചെയ്ത സൈൻ, കോസൈൻ പട്ടികകളും വരെ, വഴികണ്ടെത്തി യാത്ര ചെയ്യൽ, ഭൂ-സർവേ, ജ്യോതിശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിവിധ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അനുസരണമായി ത്രികോണമിതി വികസിച്ചു. ഓരോ സംസ്കാരവും അതു വരെയുള്ള നേട്ടങ്ങൾ വിപുലീകരിക്കുക മാത്രമല്ല, പുതിയ ആശയങ്ങളും രീതികളും അവതരിപ്പിച്ച് ഈ പഠനമണ്ഡലത്തെ സമ്പന്നമാക്കുകയും ചെയ്തു. ദീർഘവും പരസ്പരബന്ധിതവുമായ ഈ ചരിത്രം, ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ സാംസ്കാരികവും കാലികവുമായ അതിരുകൾ മറികടക്കുന്നതെങ്ങനെ എന്ന് എടുത്തുകാണിച്ചുകൊണ്ട്, ത്രികോണമിതിയുടെ ആഴത്തിലുള്ള ആഗോള വേരുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.

---

റഫറൻസുകൾ:

1. Maor, E. (2013). Trigonometric delights. Princeton University Press.
2. Van Brummelen, G. (2009). The mathematics of the heavens and the Earth: the early history of trigonometry. Princeton University Press
3. Van Brummelen, G. (2020). Trigonometry -A Very short introduction, Oxford University Press

---