ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലനനിയമം

ഡോ.എൻ.ഷാജി എഴുതുന്ന ഒരു ഫിസിക്സ് അധ്യാപകന്റെ കുമ്പസാരങ്ങൾ – ലേഖനപരമ്പര ഏഴാംഭാഗം

കുറച്ചുകാലം മുമ്പ് ചെന്നൈയിൽ ഗവേഷകനും സുഹൃത്തുമായ പ്രൊഫ. ആർ. രാമാനുജം രസകരമായ ഒരു കാര്യം പറഞ്ഞു. പല കോളേജുകളിലായി ഫിസിക്സ് വിദ്യാർത്ഥികളുമായി ന്യൂട്ടൻ്റെ ചലന നിയമങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച് സംസാരിച്ചതിൻ്റെ അനുഭവമാണ് പങ്കുവെച്ചത്. രാമാനുജം അവരോട് ചോദിച്ച ആദ്യ ചോദ്യം ഇതായിരുന്നു. ഒരു മുറിയുടെ മൂലയിൽ ഒരു നായ്ക്കുട്ടി അനങ്ങാതെ കിടക്കുന്നു, ചലന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അത് എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും. എല്ലാവരുടേയും ഉത്തരം ഏതാണ്ടിങ്ങനെയായിരുന്നു: ന്യൂട്ടൻ്റെ ഒന്നാം ചലനനിയമം അനുസരിച്ച് ഒരു ബാഹ്യബലം ഇല്ലാത്തിടത്തോളം കാലം അനങ്ങാതെ കിടക്കുന്ന വസ്തുക്കൾ നിശ്ചലാവസ്ഥയിൽ തുടരും. ആർക്കും ഇക്കാര്യത്തിൽ അഭിപ്രായ വ്യത്യാസമില്ല. പക്ഷേ, ചോദ്യങ്ങൾ അവിടെ തീരുന്നില്ല. അനങ്ങാതെ കിടന്ന നായ്ക്കുട്ടി കുറച്ചു കഴിഞ്ഞ് എന്തോ ശബ്ദം കേട്ട് എഴുന്നേറ്റു പോകുന്നു, ഇതെങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും. ഇതിനെ തുടർന്ന് കുറച്ചു രസികൻ ചർച്ചകൾ നടക്കുന്നു. ഒടുവിൽ പകുതിയിലധികം വിദ്യാർത്ഥികളും പറയുന്ന കാര്യം നായ്ക്കുട്ടികളെപ്പോലെ ജീവനും ബുദ്ധിയുമുള്ളവരുടെ കാര്യത്തിൽ ഫിസിക്സ് നിയമങ്ങൾ ബാധകമല്ല എന്നതാണ്. ഇത് ഫിസിക്സ് അദ്ധ്യാപുകർക്ക് മന:പ്രയാസം ഉണ്ടാക്കുന്ന കാര്യമാണ്. ഇവിടെ ബാഹ്യബലം എവിടെ നിന്നു വരുന്നു എന്നതു വിദ്യാർത്ഥികൾ മനസ്സിലാക്കാതെ പോകുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമല്ലേ?

ഇവിടെ യഥാർത്ഥത്തിൽ എന്താണു നടക്കുന്നത്. നായ്ക്കുട്ടി തറയിൽ ബലം പ്രയോഗിക്കുകയും തറ തിരിച്ചു നായ്ക്കുട്ടിയിൽ ബലം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതാണ് അതിനെ കിടന്നിടത്തുനിന്ന് എഴുന്നേല്ക്കാൻ സഹായിക്കുന്നത്. ഇങ്ങനെയൊക്കെ പറഞ്ഞാൽ എല്ലാവർക്കും അതു സ്വീകാര്യമായ ഒരു മറുപടിയാമോ? ഏതായാലും ഇക്കാര്യം ഗൗരവത്തിലെടുത്ത ബാലാജി സമ്പത്ത് ഇക്കാര്യത്തെ സംബന്ധിച്ച് ഒരു പുസ്തകം തന്നെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. നമ്മുടെ അരവിന്ദ് ഗുപ്തയാകട്ടെ അത് ആർക്കും ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാവുന്ന വിധം ഷെയർ ചെയ്തിട്ടുമുണ്ട്. റഫറൻസ് ലിസ്റ്റ് നോക്കുക.

ഇനി മറ്റൊരു ടെക്സ്റ്റ് ബുക്ക് പ്രശ്നം നോക്കുക. ഒരാൾ ഒരു കിലോഗ്രാം മാസ്സ് ഉള്ള ഒരു വസ്തുവിൽ 100 ന്യൂട്ടൺ ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഇതിൻ്റെ ത്വരണം (acceleration) കാണക്കാക്കുക.

ഈ ചോദ്യം ന്യായമായ ഒന്നാണ്. ഒരാൾക്ക് 100 N ബലം എന്നത് പ്രയോഗിക്കാൻ പറ്റും. 10 കിലോഗ്രാം മാസുള്ള ഒരു വസ്തു പൊക്കാൻ സാധിക്കുന്ന ഒരാൾക്ക് ഇതു കഴിയും.

ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഉത്തരം ന്യൂട്ടൻ്റെ രണ്ടാം നിയമം F=ma ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പം കണക്കാക്കാം.

\( a=\frac{F}{m} = 100 \,ms^{-2}\)

ഇനി, ചോദ്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗമായി ഈ ബലം ഒരു സെക്കൻഡു നേരം തുടർച്ചയായി പ്രയോഗിച്ചാൽ അതിന് വേഗം എത്ര കിട്ടും. അതു കണക്കാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

\(v = at= 100 \,ms^{-2} \times 1 s = 100\, ms^{-1}\)

കണക്കുകൂട്ടലിൽ തെറ്റൊന്നുമില്ല. ഫോർമുലയൊന്നും തെറ്റിയിട്ടില്ല. പക്ഷേ, സെക്കൻഡിൽ 100 മീറ്റർ എന്ന വേഗം കുറച്ചുകൂടുതല്ലേ. അതു kmph (kilometre per hour) – ലേക്കു മാറ്റിയാൽ 360 km/hr ആകും. ഇതു സാദ്ധ്യമാകുന്ന ഒരാൾക്ക് ജാവലിൻ ത്രോയിലെ ലോക റിക്കാർഡ് മറികടക്കുക എന്നത് നിസ്സാരമാകും. അപ്പോൾ എന്തോ പ്രശ്നമില്ലേ?

ഇനി ചോദ്യത്തിലെ ബലം പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന വസ്തുവിൻ്റെ മാസ്സ് ഒരു കിലോഗ്രാമിനു പകരം ഒരു ഗ്രാം ആയാലോ? വേഗം ആയിരം ഇരട്ടിയാകും, അതായത് 100 കിലോമീറ്റർ / സെക്കൻഡ്. മാസ് ഒരു മില്ലിഗ്രാം ആയാലോ വേഗം വീണ്ടും ആയിരം ഇരട്ടിയാകും. അതായത് ഒരു ലക്ഷം കിലോമീറ്റർ / സെക്കൻഡ്. മാസ്സ് ഇനിയും കുറച്ചാൽ പ്രകാശവേഗത്തെ മറികടക്കാം. അപ്പോൾ എന്തോ ഒരു പന്തികേട് ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പല്ലേ? ഇനി മറ്റൊരു കാര്യം ആലോചിച്ചു നോക്കൂ. ആ വസ്തു ഒരു പ്രോട്ടോൺ ആണെങ്കിലോ? പ്രോട്ടോണിൻ്റെ മാസ്സ് \(m_p=9.1\times 10^{-27} kg\) ആണ്. അതിൽ 100 ന്യൂട്ടൺ ബലം പ്രയോഗിച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന ത്വരണം അതിഭയങ്കരമായിരിക്കും. അത് \(10^{28}\, ms^{-2}\) –നും മുകളിലായിരിക്കും. അമ്പമ്പോ? അങ്ങനെയെങ്കിൽ നമുക്ക് വൻ പാർട്ടിക്കിൾ ആക്സിലറേറ്ററുകളുടെ ആവശ്യമുണ്ടോ? എന്താ ഇതിൻ്റെയൊക്കെയർത്ഥം? ചില സമവാക്യങ്ങൾ പഠിച്ചുവെച്ചിട്ട് അവ വലിയ ആലോചനയൊന്നുമില്ലാതെ യാന്ത്രികമായി ഉപയോഗിച്ചാൽ പല മണ്ടൻ ഉത്തരങ്ങളും കിട്ടും. പരീക്ഷയ്ക്കും മറ്റും ചോദ്യം തയ്യാറാക്കുന്നവർ ഇതും കൂടി മനസ്സിൽ വെച്ചാൽ നന്നാകും.

നമുക്ക് ഒരു വസ്തുവിൽ എത്ര ബലം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും എന്നത് വസ്തുവിൻ്റെ ആകൃതിയെയും വലിപ്പത്തെയും നമ്മൾ ബലം പ്രയോഗിക്കുന്ന രീതിയേയും ഒക്കെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. നമുക്ക് ഒരു വസ്തുവിനെ പരമാവധി എത്ര വേഗത്തിൽ എറിയാൻ കഴിയും എന്നു ചോദിച്ചാൽ മനസ്സിൽ വരേണ്ട ഒരു കാര്യം അതു കൈയിൽ നിന്ന് വിട്ടു പോകുമ്പോഴുള്ള വേഗമായിരിക്കും അതിനു കിട്ടുക. അതാകട്ടെ കൈപ്പത്തിക്കോ വിരലിനോ ലഭിക്കുന്ന പരമാവധി വേഗമായിരക്കും. അതു പരമാവധി 150-175 കിലോമീറ്റർ / മണിക്കൂർ ആയിരിക്കും. എറിയപ്പെടുന്ന വസ്തുവിൻ്റെ മാസ് എത്ര കുറച്ചാലും ഇക്കാര്യത്തിൽ വലിയ മാറ്റം വരുത്താൻ കഴിയില്ല. നമ്മുടെ കൈയുടെ ചലിക്കുന്ന ഭാഗത്തിൻ്റെ മാസും കണക്കിലെടുക്കണമെന്നതു തന്നെ കാരണം. അതായത് നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ണുമടച്ച് പ്രയോഗിച്ചാൽ മണ്ടത്തരങ്ങൾ വരാം.

ഐസക്ക് ന്യൂട്ടൺ ചലന നിയമങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതിൻ്റെ പിന്നിൽ മറ്റു പലരുടേയും പരീക്ഷണങ്ങളും, അതിനെ സംബന്ധിച്ച ആഴത്തിലുള്ള പഠനവും, ന്യൂട്ടൻ്റെ തന്നെ കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മമായ പരിഷ്കരണങ്ങളും എല്ലാം വലിയ പങ്കുവഹിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് ഭൂമിയുടെ ഉപരിലെത്തിനടുത്തുള്ള വസ്തുക്കളുടെ പതനം തന്നെയെടുക്കുക. ഗലീലിയോ കണ്ടെത്തിയ ഒരു കാര്യം ദൂരം സമയത്തിൻ്റെ വർഗത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും എന്നതാണ്. അതായത്,

\( s\propto t^2 \).

ഇതിനെ രണ്ടു വട്ടം ഡിഫെറെൻഷ്യേറ്റു ചെയ്താൽ ത്വരണം സ്ഥിരമാണെന്നു കിട്ടും.

\( a = \frac{d^2s}{dt^2}= const. \)

ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിനു സമീപം ഗുരുത്വാകർഷണബലത്തിൽ വലിയ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ ഇല്ലല്ലോ. ഇത് ബലം ത്വരണത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്ന നിയമവുമായി ഒത്തുപോകുന്നു.

Projectile motion, Source – Newton’s Principia

ഗലീലിയോ പരിഗണിച്ച മറ്റൊരു കാര്യം എറിയപ്പെട്ട വസ്തുക്കളുടെ (projectile) ചലനമാണ്. അവ പാരബോളിക് പാതയിലൂടെയാണ് ചലിക്കുക എന്ന് അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. ഇക്കാര്യം വിശദീകരിക്കാൻ ഒരു എളുപ്പവഴിയുണ്ട്. ഈ വസ്തുവിൻ്റെ ചലനം ലംബവും (vertical) തിരശ്ചീനവും (horizontal) ആയ രണ്ടു ചലനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പരിഗണിക്കുക എന്നതാണത്. വായുവിൻ്റെ ഘർഷണം (friction) അവഗണിച്ചാൽ തിരശ്ചീന ചലനം സമവേഗത്തിലായിരിക്കും, ലംബചലനംസമത്വരണത്തിലുമായിരിക്കും. രണ്ടും തമ്മിൽ ചേർക്കുമ്പോൾ പാരബോള ലഭിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഇതു കൂടാതെ, പെൻഡുലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ഇടിയുടെ (collision) ബലതന്ത്രം മനസ്സിലാക്കിയതും രണ്ടാം നിയമത്തിലേക്കെത്താൻ ന്യൂട്ടണെ സഹായിച്ചു.

ന്യൂട്ടന്റെ തന്നെ പ്രിൻസിപ്പിയയിൽ നിന്നുള്ള ചിത്രമാണ് ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വ്യത്യസ്ത വലിപ്പമുള്ള ബോബുകൾ ഉള്ള രണ്ടു പെൻഡുലങ്ങളെ സങ്കല്പിക്കുക. അതിൽ ഒരു പെൻഡുലത്തിൻ്റെ ബോബിനെ അതിൻ്റെ ഇക്വിലിബ്രിയം പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വശത്തേക്ക് വലിച്ചു നീക്കിയിട്ട് വിട്ടാൽ അത് രണ്ടാമത്തെ പെൻഡുലത്തിൻ്റെ ബോബിനെ ചെന്ന് ഇടിക്കുകയും തെറിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. എത്ര അകലേക്ക് തെറിക്കുമെന്നത് (chord length) അതിന് ആഘാതത്തിനു ശേഷമുണ്ടാകുന്ന വേഗത്തിന് അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. ഈ പരീക്ഷണം പലവട്ടം ആവർത്തിക്കുന്നത് ന്യൂട്ടൻ്റെ ചലനനിയമങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കാൻ സഹായിക്കും. ന്യൂട്ടൺ വ്യത്യസ്തമായ സ്വഭാവവിശേഷങ്ങളുള്ള ബോബുകൾ മൂന്നുമീറ്റർ നീളമുള്ള പെൻഡുലം ഉണ്ടാക്കി വ്യത്യസ്ത ആയതിയിൽ പരീക്ഷണം ആവർത്തിച്ച് അവ തൻ്റെ നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നുമെന്ന് പരിശോധിച്ചു. ഇതിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾ കുറേയൊക്കെ പ്രിൻസിപ്പിയയിൽ വിശദീകരിച്ചിട്ടുണ്ട്.