ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ

പി.എം. സിദ്ധാർത്ഥൻ എഴുതുന്ന പംക്തി. ബഹിരാകാശ കുറിപ്പുകൾ മൂന്നാംഭാഗം

ഇന്ത്യയുടെ ആദിത്യ-എൽ 1  എന്ന സൗരദൗത്യം  സൂര്യനെ നിരീക്ഷിക്കാനായി വിക്ഷേപിച്ചപ്പോഴാണ്  സൂര്യൻ-ഭൂമി സിസ്റ്റത്തിലെ L1 പോയിന്റ്  മാധ്യമശ്രദ്ധയും ബഹുജനശ്രദ്ധയും നേടിയത്. ബഹിരാകാശ യുഗം മുന്നേറുന്നതുവരെ  ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ ഭൗതികത്തിലെയും ഗണിതത്തിലെയും സമസ്യ മാത്രമായി ഏകദേശം രണ്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾ നിലനിന്നു. 1970-കളുടെ അവസാനത്തിലാണ്  ബഹിരാകാശ ഗവേഷകർ ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്. അങ്ങനെ ഗണിതജ്ഞർ അവ കണ്ടെത്തി രണ്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്കു ശേഷം, അവ മാനവരാശിക്ക്  അറിവ് നേടാനുള്ള വാതായനങ്ങൾ ആയി മാറി.

ലൂക്ക@സ്കൂൾ പാക്കറ്റ് 5-ൽ ബഹിരാകാശത്ത് ഉപഗ്രഹങ്ങൾ സഞ്ചരിക്കുന്ന വിവിധതരം ഭ്രമണപഥങ്ങളെ (ഓർബിറ്റ്) കുറിച്ച് പറഞ്ഞിരുന്നുവല്ലോ.  നമ്മുടെ സൗരയൂഥത്തിൽ ഗ്രഹങ്ങൾ സൂര്യനെ ചുറ്റിയും ഉപഗ്രഹങ്ങൾ ഗ്രഹങ്ങളെ ചുറ്റിയും അത്തരം ഭ്രമണപഥങ്ങളിലൂടെ ആണ് സഞ്ചരിക്കുന്നത്. പ്രപഞ്ചത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ മറ്റ് നക്ഷത്രയൂഥങ്ങളിലും ഗ്രഹങ്ങൾ അവയുടെ നക്ഷത്രങ്ങളെ ചുറ്റിത്തിരിയുന്നത് അത്തരം ഭ്രമണപഥങ്ങളിൽ തന്നെ. ഇതിൽ നിന്നും ഒരു കാര്യം മനസ്സിലാക്കാം. എല്ലാ ഓർബിറ്റുകളുടെയും കേന്ദ്രത്തിൽ ഒരു പ്രപഞ്ചഗോളം (celestial body) ഉണ്ട്. അത് ദ്രവ്യത്താൽ  നിർമ്മിതമാണ്. അതിന്റെ ഗുരുത്വാകർഷണമാണ് അതിനെ വലം വെയ്ക്കുന്ന ഉപഗ്രഹങ്ങളെ നിയന്ത്രിക്കുന്നത്. 

ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ ദ്രവ്യനിർമ്മിതമായ ഒരു പ്രപഞ്ചവസ്തു ഇല്ലാത്ത ഭ്രമണപഥങ്ങൾ സാധ്യമാണോ? നമ്മുടെ സാധാരണ പ്രതികരണം സാധ്യമല്ല എന്നായിരിക്കും. എങ്കിലും അങ്ങനെയുള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങൾ ഉണ്ട്! അത്തരം ഭ്രമണപഥങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ഒരു ജോഡി പ്രപഞ്ചവസ്തുക്കളുടെ ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകളെ കേന്ദ്രമാക്കിയാണ് ഭ്രമണം ചെയ്യുന്നത്. ഒരു ജോഡി പ്രപഞ്ചവസ്തുക്കൾ എന്നു പറഞ്ഞാൽ അത് സൂര്യനും സൗരയൂഥത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഗ്രഹമോ ഏതെങ്കിലും ഗ്രഹവും അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ചന്ദ്രനോ സൗരയൂഥം പോലെ മറ്റു നക്ഷത്രയൂഥങ്ങളിലെ ഒരു ജോഡി വസ്തുക്കളും ആവാം . ഈ ഓരോ ജോഡി വസ്തുക്കൾക്കും അഞ്ച് ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്.

ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ: 

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മുടെ ചർച്ചകളിൽ നമുക്ക് സൂര്യനെയും ഭൂമിയെയും ഉദാഹരണമായെടുക്കാം. അതാണ് ചിത്രം 1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ പോയിന്റുകളെ  L1,  L2 ,  L3 , L4 , L5 എന്ന് പേര് കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. സൂര്യനെയും ഭൂമിയെയും ചേർക്കുന്ന നേർരേഖയിലാണ്  L1,  L2 ,  L3 എന്നിവ. L1 സൂര്യനും ഭൂമിക്കും ഇടയ്ക്കാണ് .   L2  അതേ  നേർരേഖയിൽ ഭൂമിയിൽനിന്നും അകലെയാണ്. (ഈ ഭാഗത്തെ ഭൂമിയുടെ രാത്രി വശം എന്നും പറയും).  L3 അതേ  നേർരേഖയിൽ സൂര്യന്റെ മറുപുറത്താണ്.  L4 , L5 എന്നിവ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചതുപോലെ സൂര്യനിൽനിന്നും ഭൂമിയിൽനിന്നും തുല്യ ദൂരം അകലെയാണ്.  ഇതുപോലെയുള്ള അഞ്ച് പോയിന്റുകൾ ഭൂമി – ചന്ദ്രൻ സിസ്റ്റത്തിലും ഉണ്ട്. 

ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകളും ഗുരുത്വാകർഷണവും 

ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റിനു ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നതിനു മുൻപ് എന്താണ് ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകളുടെ പ്രത്യേകത എന്നു നോക്കാം. ലൂക്ക@സ്കൂൾ പാക്കറ്റ് 4, പാക്കറ്റ് 5 എന്നിവയിൽ ന്യൂട്ടന്റെ ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമത്തെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിച്ചിട്ടുണ്ടല്ലോ? അതുപ്രകാരം രണ്ടു വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണം അവയുടെ ദ്രവ്യമാനത്തിന്റെ ഫലത്തിന് (product) അനുപാതത്തിലും അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗത്തിനു വിപരീതാനുപാതത്തിലും ആയിരിക്കും. പക്ഷെ, വളരെ കൂടുതൽ മാസ് ഉള്ള ഒരു വസ്തുവും (ഉദാഹരണം സൂര്യൻ), അതിനെ വലം  വെയ്ക്കുന്ന അതിനെക്കാൾ  മാസ് കുറവുള്ള രണ്ടാമതൊരു വസ്തുവും (ഉദാഹരണം ഭൂമി) ഉണ്ടെങ്കിൽ അവയോടൊപ്പം താരതമ്യേന വളരെ ചെറിയ മാസ് ഉള്ള മൂന്നാമതൊരു വസ്തു കൂടി വന്നാൽ അതിന് അനുഭവപ്പെടുന്ന ബലം എന്തായിരിക്കും?

ആ ചെറിയ വസ്തുവിന്മേൽ വലിയ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെയും ഗുരുത്വാകർഷണവും ഉണ്ടാവും. തൽഫലമായി അതിന്മേൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന പരിണിത ഗുരുത്വാകർഷണം കൊണ്ടുണ്ടാകുന്ന ത്വരണം (acceleration due to gravity) രണ്ടാമത്തെ വസ്തുവിന് അനുഭവപ്പെടുന്ന ത്വരണത്തിനു തുല്യമാവുന്ന അഞ്ച് അനന്യമായ പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്. അവയാണ്   L1,  L2 ,  L3 , L4 , L5 എന്നീ ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ. ആ  പോയിന്റുകളിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരു വസ്തു ആ രണ്ടു വലിയ വസ്തുക്കളുമായി ആപേക്ഷികമായി സ്ഥിരമായിരിക്കും എന്ന് പറയാം.  L1,  L2 ,  L3 , L4 , L5 എന്നിവയിൽ L1,  L2,  L3 എന്നിവ കൂടുതൽ അസ്ഥിരമാണ്. അവയെ അപേക്ഷിച്ച്  L4 , L5  എന്നിവ കൂടുതൽ സ്ഥിരതയുള്ളവയാണ്.

ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകളിൽ ഒരു ചെറിയ ഉപഗ്രഹം നിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് ഭൂമിയോടൊപ്പം സൂര്യനെ ചുറ്റും. എന്നാൽ   L1,  L2 എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ ഉപഗ്രഹങ്ങൾ നിർത്താറുള്ളൂ. L3 സൂര്യന് മറുവശത്തായതിനാൽ ഉപയോഗമില്ല. L4 , L5 എന്നിവ ഒരു സൗരദൂരം  ( 1 AU ) അകലെ ആയതിനാൽ  ഇപ്പോൾ അവയും ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല. 

L1,  L2 പോയിന്റുകളും ഗുരുത്വാകർഷണവും

L1,  L2  എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ ഉപഗ്രഹങ്ങൾ നിർത്താറുള്ളൂ എന്നു പറഞ്ഞുവല്ലോ? അവിടെയുള്ള ഉപഗ്രഹങ്ങൾക്ക് എന്തു സംഭവിക്കുമെന്ന് നോക്കാം.  സൂര്യന് അടുത്തുള്ള ഗ്രഹങ്ങൾ കൂടുതൽ വേഗത്തിലും ദൂരെയുള്ളവ കുറഞ്ഞ വേഗത്തിലുമാണ് സൂര്യനു ചുറ്റും സഞ്ചരിക്കുന്നത് എന്ന വസ്തുത നമുക്കറിയാം. ഉദാഹരണമായി  സൂര്യനിൽ നിന്നും 1 സൗരദൂരം (astronomical unit , AU = 15 കോടി കിലോമീറ്റർ) ദൂരെയുള്ള ഭൂമി സൂര്യനെ ഒരു പ്രാവശ്യം പ്രദക്ഷിണം വെയ്ക്കാൻ 365 ഭൗമദിവസങ്ങൾ (earth days) എടുക്കുന്നു. സൂര്യനിൽനിന്നും 11 കോടി കിലോമീറ്റർ  (0.72   സൗരദൂരം) ദൂരെയുള്ള ശുക്രൻ  സൂര്യനെ ഒരു പ്രാവശ്യം പ്രദക്ഷിണം വെക്കാൻ 225 ഭൗമദിവസങ്ങളും 6 കോടി കിലോമിറ്റർ (0.4  സൗരദൂരം) ദൂരെയുള്ള  ബുധൻ  59  ഭൗമദിവസങ്ങളും മാത്രമേ എടുക്കൂ.  സൗരയൂഥത്തിലെ എല്ലാ ഗ്രഹങ്ങളുടെയും പരിക്രമണകാലം  തുടങ്ങിയ വിവരങ്ങൾ പട്ടിക 1-ൽ തന്നിരിക്കുന്നു.

അതായത്, സൂര്യനും ഭൂമിക്കും ഇടയിലുള്ള ഗ്രഹങ്ങൾ ഭൂമിയെക്കാൾ കൂടുതൽ വേഗതയിലും   സൗരയൂഥത്തിൽ ഭൂമിക്കു പുറത്തുള്ള ഗ്രഹങ്ങൾ ഭൂമിയെക്കാൾ മെല്ലെയും മാത്രമേ സൂര്യനെ വലം വെയ്ക്കുകയുള്ളൂ. ഗ്രഹത്തിനു പകരം ഒരു മനുഷ്യനിർമിത ഉപഗ്രഹമാണെങ്കിലും അങ്ങനെത്തന്നെയെ സംഭവിക്കുകയുള്ളൂ.

ഗ്രഹം	സൂര്യനിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം		വേഗം (km/s)	പരിക്രമണകാലം
	(AU)	(km )
ബുധൻ	0.39	58,000,000	47.87	87.97 ഭൗമദിവസം
ശുക്രൻ	0.72	108,000,000	35.02	224.7 ഭൗമദിവസം
ഭൂമി	1	150,000,000	29.78	365.25 ഭൗമദിവസം
ചൊവ്വ	1.52	228,000,000	24.077	687 ഭൗമദിവസം
വ്യാഴം	5.2	778,000,000	13.07	11.86 ഭൗമവർഷം
ശനി	9.54	1,430,000,000	9.69	29.42 ഭൗമവർഷം
യുറാനസ്	19.22	2,870,000,000	6.81	83.75 ഭൗമവർഷം
നെപ്റ്റ്യൂൺ	30.06	4,500,000,000	5.43	163.72 ഭൗമവർഷം

L1 പോയിന്റിലെ ഉപഗ്രഹങ്ങൾ. 

L1-ൽ ഒരു ഉപഗ്രഹം നിക്ഷേപിച്ചാൽ അത് ഭൂമിയെക്കാൾ വേഗത്തിൽ സൂര്യനെ വലം വെയ്ക്കുമല്ലോ?  അതിന്റെമേൽ ഭൂമിയുടെയും സൂര്യന്റെയും ഗുരുത്വാകർഷണം വിരുദ്ധ ദിശകളിൽ ആയിരിക്കും. ഉപഗ്രഹത്തെ ഭൂമി സൂര്യന്റെ എതിർ ദിശയിൽ ആകർഷിക്കുന്നതിനാൽ അതിന്റെ വേഗത കുറയും. ഉപഗ്രഹത്തിന്റെ സ്ഥാനം കൃത്യമായി നിയന്ത്രിച്ചാൽ  അത് ഭൂമിയോടൊപ്പം സുര്യനെ വലം വെയ്ക്കും, ഭൂമിയിൽനിന്നും അകന്നു പോകില്ല. ഈ പോയിന്റ് ഭൂമിയിൽനിന്നും 15,01557  കിലോമീറ്റർ (0.010 037 AU) അകലെയാണ്. 

ഇവിടെ നിന്നുകൊണ്ട്  24 മണിക്കൂറും ഒരു തടസ്സവുമില്ലാതെ സൂര്യനെ നിരീക്ഷിക്കാമെന്നതിനാൽ സൗരനിരീക്ഷണ ഒബ്സർവേറ്ററികൾക്ക് അനുയോജ്യമായ സ്ഥലമാണ് L1. ഇന്ത്യയുടെ ആദിത്യ-എൽ 1 (Aditya-L1),  നാസാ / ഇ.എസ്.എ-യുടെ സോഹോ (Solar and Heliospheric Observatory (SOHO)), നാസയുടെ എയ്‌സ്‌ (Advanced Composition Explorer (ACE)),  DSCOVR (Deep Space Climate Observatory) എന്നിവയൊക്കെ L1-ൽ ആണ്. 

 L2 പോയിന്റിലെ ഉപഗ്രഹങ്ങൾ.

L2-ൽ ഒരു ഉപഗ്രഹം നിക്ഷേപിച്ചാൽ സാധാരണ സ്ഥിതിയിൽ ആ ഉപഗ്രഹം ഭൂമിയെക്കാൾ മെല്ലെ മാത്രമേ സൂര്യനെ വലം വെയ്ക്കുകയുള്ളൂ. പക്ഷെ, അതിന്റെമേൽ ഭൂമിയുടെയും സൂര്യന്റെയും ഗുരുത്വാകർഷണം ഒരേ  ദിശയിൽ ആണെന്നതിനാൽ അതിന്റെ വേഗത കൂടുതൽ ആയിരിക്കും. ഉപഗ്രഹത്തിന്റെ സ്ഥാനം ഭൂമിയിൽനിന്നും 14,91557 km അകലെ ആണെങ്കിൽ  അത് ഭൂമിയിൽനിന്നും അകന്നു പോകാതെ  ഭൂമിയോടൊപ്പം സുര്യനെ വലം വെയ്ക്കും. 

ഇവിടെ നിൽക്കുന്ന ഒരു ബഹിരാകാശ ഒബ്സർവേറ്ററിക്ക് സൂര്യന്റെയും ഭൂമിയുടെയും എതിർ ദിശയിലേക്ക് നോക്കുന്നതിനാൽ സൂര്യപ്രകാശം കൊണ്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങളോ ഭൂമിയോ ചന്ദ്രനോ ഇടയിൽ വന്ന് നിരീക്ഷണത്തിന് തടസ്സമാവുന്ന പ്രശ്നമോ ഇല്ല. യാതൊരു തടസ്സവും ഇല്ലാതെ 24 മണിക്കൂറും പ്രപഞ്ചത്തെ നിരീക്ഷിക്കാമെന്നതിനാൽ  പ്രപഞ്ചനിരീക്ഷണത്തിന്ന് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ സ്ഥലമാണ് L2. ഇ.എസ്.എ-യുടെ ഗായ  (Gaia), യൂക്ലിഡ് (Euclid), നാസയുടെ ജെയിംസ് വെബ് സ്പേസ് ഒബ്സർവേറ്ററി (JWST), ചൈനയുടെ ചാങ്’6 (ഭൂമിയിലേക്ക് ചന്ദ്രനിലെ റെഗോലിത്ത്  കൊണ്ടുവന്ന ശേഷം L2 വിലേക്ക് പോയി) എന്നിവ L2 വിൽ ആണ്.

L3,  L4, L5 പോയിന്റുകളിൽ ഇപ്പോൾ ഒരു ഉപഗ്രഹങ്ങളുമില്ല. L3 സൂര്യന്റെ മറുപുറത്തായതിനാൽ പ്രായോഗിക ഉപയോഗങ്ങൾ ഒന്നുമില്ല എന്നാണ് ഇപ്പോഴത്തെ നിഗമനം. അവിടെ എന്തെങ്കിലും വസ്തു ഉണ്ടെങ്കിൽ തന്നെ അത് കാണാനോ അതുമായി കമ്മ്യൂണിക്കേഷനോ സാധ്യമല്ല. L4, L5 പോയിന്റുകളിലും ഇപ്പോൾ ഒന്നുംതന്നെ ഇല്ല. 2031-ൽ യൂറോപ്യൻ സ്പേസ് ഏജൻസി വിക്ഷേപിക്കാനിരിക്കുന്ന വിജിൽ (Vigil) എന്ന ഉപഗ്രഹം  L5-ൽ ആണ് പാർക്ക് ചെയ്യുക എന്നറിയുന്നു.

L1,  L2 പോയിന്റുകൾ കേന്ദ്രമാക്കിയുള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങൾ.

ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകളെ കേന്ദ്രമാക്കിയുള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങൾ  ഉണ്ടെന്ന് നമ്മൾ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ മനസ്സിലാക്കിയല്ലോ? ഈ  ഭ്രമണപഥങ്ങൾ ആണ് ഹാലോ ഓർബിറ്റുകളും ലിസ്സാജസ് ഓർബിറ്റുകളും. അവയുടെ കേന്ദ്രസ്ഥാനം ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ ആണ്; പക്ഷെ, അവിടെ ദ്രവ്യരൂപത്തിലുള്ള ഒരു പ്രപഞ്ചഗോളവും ഇല്ല. ഈ ഓർബിറ്റുകൾ  L1 അല്ലെങ്കിൽ  L2 കേന്ദ്രമാക്കി ത്രിമാന സ്പേസിൽ ഉള്ളവയാണ്. അതായത് ഈ ഓർബിറ്റുകൾ മൂന്ന് ദിശകളിലും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഹാലോ ഓർബിറ്റ് ത്രിമാന ആവർത്തന ഭ്രമണപഥങ്ങൾ ആണ്. ഒരു നിശ്ചിത ഭ്രമണങ്ങൾക്കു ശേഷം  വീണ്ടും പഴയ ഓർബിറ്റുകൾ ആവർത്തിക്കും. ലിസ്സാജസ് ഓർബിറ്റ് ഹാലോ ഓർബിറ്റുകളെപ്പോലെ ത്രിമാന ഭ്രമണപഥങ്ങൾ ആണ്; പക്ഷെ, അവ ആവർത്തിക്കുകയില്ല, നിരന്തരം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. (ചിത്രം 2).

രണ്ടുതരം ഓർബിറ്റുകളും അസ്ഥിര ഓർബിറ്റുകളാണ്. അതിനാൽ അവിടെ പാർക്ക് ചെയ്തിരിക്കുന്ന സ്പേസ്ക്രാഫ്റ്റുകളെ നിയന്ത്രിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആ ഓർബിറ്റുകൾ മുൻപ് പറഞ്ഞ നിരീക്ഷണങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമാണ് എന്നതിനാൽ ഇന്ധനം ചെലവാക്കിയാൽ പോലും അത് വലിയ നഷ്ടമല്ല. 

ഈ ലേഖനത്തിൽ പരാമർശിച്ച എല്ലാ ഒബ്സർവേറ്ററികളും ഹാലോ ഓർബിറ്റിലോ ലിസ്സാജസ് ഓർബിറ്റിലോ ആണ്. L1-ൽ, SOHO, ആദിത്യ-എൽ 1, DSCOVR എന്നിവ ഹാലോ ഓർബിറ്റിലും ACE ലിസ്സാജസ് ഓർബിറ്റിലുമാണ്. ( ചിത്രം 3 കാണുക). L2 വിൽ ഗായ, യൂക്ലിഡ് എന്നിവ ലീസ്സാജസ് ഓർബിറ്റിലും ജെയിംസ് വെബ് സ്പേസ് ടെലിസ്കോപ്പ് ഹാലോ ഓർബിറ്റിലുമാണ്. 

അല്പം ചരിത്രം- ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകളുടെ കണ്ടെത്തൽ : 

ന്യൂട്ടന്റെ ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമങ്ങൾ രണ്ടു വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണത്തെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു. എന്നാൽ നാമിവിടെ ചർച്ച ചെയ്ത മൂന്ന് വസ്തുക്കളുടെ പരസ്പര ഗുരുത്വാകർഷണ ബന്ധം കൂടുതൽ സങ്കീർണമാണ്. 1700-കളിൽ തന്നെ ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ നിർധാരണത്തിനുള്ള (solving the problem) ശ്രമങ്ങൾ തുടങ്ങിയിരുന്നു. മൂന്നാമത്തെ വസ്തുവിന്റെ ദ്രവ്യമാനം (mass ) തള്ളിക്കളയാൻ മാത്രം കുറവാണെങ്കിൽ അതിനെ ‘പരിമിതപ്പെടുത്തപ്പെട്ട  മൂന്ന് വസ്തുക്കളുടെ പ്രശ്നം ( restricted three-body problem)’ ആയി കണ്ടാൽ അത് കുറച്ച് ലളിതമായി നിർധാരണം (solve ) ചെയ്യാം. 1760-ൽ ആ പ്രശ്നം  നിർധാരണം ചെയ്ത്  ലിയോൺഹാർഡ്  ഓയ്ലർ (Leonhard Euler)  L1, L2, L3 എന്നിവ കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. 1772-ൽ ഇറ്റലിയിൽ ജനിച്ച്   പാരീസിൽ ജീവിച്ച ജോസഫ് ലൂയി ലെഗ്രാംഷേ  ഇതിനെ വിപുലീകരിക്കുകയും L4, L5 എന്നിവയുടെ സാധ്യതകൂടി പ്രസ്താവിക്കുകയും ചെയ്തു.  അതിനാലായിരിക്കാം പിന്നീട് ഈ പോയിന്റുകൾ ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ എന്നറിയപ്പെട്ടത്.

എന്നാൽ ഇവരാരും തന്നെ സൂര്യൻ-ഭൂമി സിസ്റ്റത്തെയോ ഭൂമി-ചന്ദ്രൻ സിസ്റ്റത്തെയോ ഉദാഹരണമായിട്ടെടുത്തോ  അല്ലെങ്കിൽ  രണ്ടു വലിയ വസ്തുക്കളെയും ഒരു വളരെ ചെറിയ വസ്തുവിനെയും ഉദാഹരണമായിട്ടെടുത്തോ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും ഒരു ചിത്രവും ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നില്ല. അവർക്ക്, അവ ഒരു ഗണിത നിർധാരണം മാത്രമായിരുന്നു.

എന്നാൽ കാലക്രമേണ  ചില ഗ്രന്ഥകർത്താക്കൾ അവരുടെ ഗണിതപുസ്തകങ്ങളിൽ ഇതിന്റെ ഒരു രേഖാചിത്രം ഉൾകൊള്ളിച്ചിരുന്നു. അതിൽ ഭൂമിക്കു പുറത്തുള്ള പോയിന്റ്  L1-ഉം  സൂര്യനും ഭൂമിക്കും ഇടക്കുള്ളത്  L2-ഉം ആയിട്ടാണ് ചിത്രീകരിച്ചിരുന്നത്. എന്നാൽ 1970 കളിൽ  നാസായാണ് L1-നെ സൂര്യനും ഭൂമിക്കും ഇടയ്ക്കുള്ള പോയിന്റ് ആയി ചിത്രീകരിക്കാൻ തുടങ്ങിയത് എന്ന് വിദഗ്ധർ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ എല്ലാവരും ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചിത്രം 1-ൽ കാണിച്ച നാമകരണരീതി ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി.  

മറ്റു ഗ്രഹങ്ങളുടെയും ചന്ദ്രന്റെയും ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ.

സൂര്യനും മറ്റ് ഏതൊരു ഗ്രഹവും ചേരുന്ന സിസ്റ്റത്തിലും ഏതൊരു ഗ്രഹവും അവയുടെ ഏതൊരു ചന്ദ്രനും ചേർന്നുണ്ടാവുന്ന സിസ്റ്റത്തിലും അഞ്ച് ലഗ്രാഞ്ചിയൻ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട് എന്ന് പറഞ്ഞുവല്ലോ. ഓരോ ജോഡിയിലെയും വസ്തുക്കളുടെ മാസ്സിന് അനുസരിച്ച് അവയുടെ സ്ഥാനം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഇവയിൽ ചന്ദ്രന്റെ  L 2  പോയിന്റിൽ ഒഴികെ മറ്റൊന്നിലും തന്നെ മനുഷ്യ നിർമിത ഉപഗ്രഹങ്ങളോ സ്പേസ്ക്രാഫ്റ്റുകളോ ഇല്ല. ചന്ദ്രന്റെ L 2 പോയിന്റിൽ ചൈനയുടെ റിലേ ഉപഗ്രഹമായിരുന്ന ക്വിയ്‌ക്കോ 1 പ്രവർത്തിച്ചിരുന്നു.  

സൂര്യൻ-വ്യാഴത്തിന്റെ  L 4,   L 5 പോയിന്റുകളിൽ ഏകദേശം 5000 ഓളം  ചെറിയ ഛിന്നഗ്രഹങ്ങൾ അടിഞ്ഞുകൂടിയിട്ടുണ്ട്. അവയെ ട്രോജൻസ് എന്നു വിളിക്കുന്നു. അതിൽ 3200 ഓളം L4 ലും 1600 ഓളം  L5-ലും  ആണ്. അവ ഏകദേശം 50 കോടി കിലോമീറ്ററോളം ദൂരത്തിൽ വിന്യസിക്കപ്പെട്ടതായി കാണാം. ചിത്രം 4 കാണുക. അതുപോലെ സൂര്യൻ-നെപ്റ്റ്യൂൺ സിസ്റ്റത്തിൽ എട്ട് ട്രോജനുകളെയും സൂര്യൻ-ചൊവ്വ സിസ്റ്റത്തിൽ നാലെണ്ണത്തിനെയും കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട് (2011 ലെ കണക്ക്).

---