ന്യൂനസംഖ്യകൾ – ക്ലാസ്‌മുറിയിലേക്ക് ഒരു എത്തിനോട്ടം

കഴിഞ്ഞ ലക്കത്തിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യഭാഗത്തിൽ, ഇന്ത്യയിലെയും ചൈനയിലെയും പുരാതന സമൂഹങ്ങൾ ന്യൂനസംഖ്യകളുമായി (negative numbers) ഉരസലില്ലാതെ ഇടപഴകിയപ്പോൾ, മറ്റ് സമൂഹങ്ങൾ അങ്ങനെ ചെയ്യുന്നതിൽ മടികാണിച്ചതായി എഴുതിയിരുന്നു. ഒരുവശത്ത് ദൈനംദിന സാമ്പത്തിക ഇടപാടുകളിൽ ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതും മറുവശത്ത് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നതും  ശുദ്ധഗണിതത്തിൽ സിദ്ധാന്തവൽകരിക്കപ്പെടുന്നതും പൗരസ്ത്യസംസ്കാരങ്ങളിൽ നാം കാണുന്നു. അതേസമയം, പാശ്ചാത്യ സംസ്കാരങ്ങളിൽ, അവ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമായോ (solutions) സമവാക്യങ്ങളിലെ ഗുണകങ്ങളായോ (coefficients) സ്വീകാര്യമായിരുന്നില്ല. അവർക്ക് ന്യൂനസംഖ്യകൾ അംഗീകരിക്കുന്നതിനുള്ള തടസ്സമായി ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രകാരന്മാർ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുന്ന ഒരു കാരണം, ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് ഒരു ഭൗതിക മാതൃകയുടെയോ സാദൃശ്യത്തിന്റെയോ അഭാവമാണ്. ഗണിതത്തിൽ “-” ചിഹ്നം വ്യവകലനത്തെ (ഉദാഹരണത്തിന് 9 – 7) സൂചിപ്പിക്കാനും ഒരു സംഖ്യ പൂജ്യത്തിൽ താഴെയാണെന്ന് (-3) സൂചിപ്പിക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു പ്രയാസം ഉടലെടുക്കുന്നു. ഇവ പഠിതാക്കൾക്കും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്ന കാര്യങ്ങളാണ് – “എന്തുകൊണ്ടാണ് ന്യൂനത്തെ ന്യൂനം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ ഉത്തരം ധനമാകുന്നത്?” എന്നത് തലമുറകളായി പഠിതാക്കളെ അലട്ടുന്ന ഒരു ചോദ്യമാണ്. ഈ ചോദ്യം അദ്ധ്യാപകരെയും അമ്പരപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക്  W H Auden-ന്റെ വരികൾ ഓർക്കാം: 

“Minus times Minus equals Plus:

The reason for this we need not discuss.” 

ഈ ലേഖനത്തിന്റെ അടുത്ത ഭാഗത്തിൽ, ഗവേഷണങ്ങളിലൂടെയും ക്ലാസ്‌റൂം പരീക്ഷണങ്ങളിലൂടെയും സാധൂകരിച്ചിട്ടുള്ള ചില ന്യൂനസംഖ്യാ മാതൃകകളെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. തുടർന്ന്, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ചോദ്യത്തെ ഈ മാതൃകകൾ എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കുന്നു എന്നും ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

പൂർണസംഖ്യ: ചിപ്പ് മാതൃക

ചൈനീസ് കണക്കുകൂട്ടൽ രീതിയിൽ ധനസംഖ്യകൾക്ക് (positive numbers) ചുവപ്പ് ദണ്ഡുകൾ, ന്യൂനസംഖ്യകൾക്ക് (negative numbers) കറുത്ത ദണ്ഡുകൾ എന്ന രീതിയാണല്ലോ.  ഒരേ എണ്ണം ചുവപ്പു ദണ്ഡുകളും കറപ്പു ദണ്ഡുകളും ഒരുമിച്ചു വച്ചാൽ അവ പരസ്പരം റദ്ദാക്കുമെന്ന ധാരണയോടെയായിരുന്നു ഇത്. ഇതുപോലെ, ഇന്റിജർ ചിപ്പ് മോഡലിൽ രണ്ടിനം  ചിപ്പുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇവയിൽ നീല ചിപ്പുകൾ ധനസംഖ്യകൾക്കായും ചുവന്ന ചിപ്പുകൾ ന്യൂനസംഖ്യകൾക്കായുമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. അതായത് +5 നെ സൂചിപ്പിക്കുവാൻ 5 കറുത്ത ചിപ്പുകളും -4 നെ സൂചിപ്പിക്കുവാൻ 4 ചുവന്നു ചിപ്പുകളും ഉപയോഗിക്കാം. 

+5	-4

ഒരു നീല ചിപ്പ് ഒരു ചുവന്ന ചിപ്പിനെ ‘നിർവീര്യ’മാക്കുമെന്നതിനാൽ ഈ സംഖ്യകളെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പലവിധത്തിലും ചിത്രീകരിക്കാം.  

+5
-4

അതായത് എത്ര നീല-ചുവപ്പ് ജോടികളെ ചേർത്താലും സംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറില്ല. കൂട്ടൽ എന്നത് നിശ്ചിത എണ്ണം ചിപ്പുകളുടെ ‘ചേർക്കലായും’ കുറയ്ക്കൽ എന്നതു ചിപ്പുകളുടെ ‘എടുക്കലായും’  കരുതാം.   ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയെ കുറയ്ക്കുന്നതിന് അത്രയും എണ്ണം ചുവപ്പു ചിപ്പിനെ എടുത്തു മാറ്റിയാൽ മതി.  

6 + (-2) =	4
4 + (-6) =	-2
-8 – (-3) =	–5

ഇനി, നമുക്ക് മറ്റൊരു കാര്യം നോക്കാം. 5 – (-3) അല്ലെങ്കിൽ  -4 – (-7) എന്നതിൻ്റെ മാതൃക എങ്ങനെ സൃഷ്ടിക്കാം. ഇതിൽ ആദ്യത്തെ കാര്യത്തിൽ 5-ൽ നിന്ന് – 3 കുറയ്ക്കണം. അതായത് 5 നീല ചിപ്പിൽ നിന്ന് 3 ചുവപ്പു ചിപ്പുകൾ എടുത്തു മാറ്റണം. അതിനെന്തു ചെയ്യാം. 5 എന്നതിനെ പല രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം എന്നു നമ്മൾ മുമ്പേ കണ്ടതാണ്. ആ സൂത്രം ഓർത്തുകൊണ്ട് നമ്മൾ പുതുതായി 3 ജോടി നീല – ചുവപ്പ് ചിപ്പുകളെ ചേർക്കുന്നു. ഇനി 3 ചുവപ്പു ചിപ്പുകളെ  എടുത്തു മാറ്റിയാൽ നമുക്ക് +8 എന്ന ഉത്തരം ലഭിക്കുമല്ലോ? 

5 – (-3) = 3 ജോടി നീല-ചുവപ്പു ചിപ്പുകളെ ചേർക്കുക.

5 – (-3) = 3 ചുവപ്പു ചിപ്പുകളെ എടുത്തു മാറ്റുക.

5 – (-3) = 8

ഇതേപ്പോലെ നമുക്ക് – 4-ൽ നിന്ന് -7കുറയ്ക്കാമല്ലോ? ചിത്രം കാണുക.

-4 – (-7) = 3 ജോടി നീല-ചുവപ്പു ചിപ്പുകളെ ചേർക്കുക.

-4 – (-7) = 7 ചുവപ്പു ചിപ്പുകളെ എടുത്തു മാറ്റുക.

-4 – (-7) = 3

ചിപ്പ് മോഡൽകൂട്ടലും കുറയ്ക്കലും ഭംഗിയായി ചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടു. അടുത്തതായി ഇതിനെ പ്രത്യേക രീതിയിൽ വിഭജിക്കുക വഴി സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച വിവിധ പ്രസ്താവനകൾ എങ്ങനെ ചിത്രീകരിക്കാം എന്നു നോക്കാം. ഉദാഹരണമായി 3-ൻ്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം കാണുക.  

ഇതിൽനിന്ന് ആരംഭിച്ച് വിവിധ പ്രസ്താവനകൾ ചിത്രീകരിക്കുന്നതും വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നതും താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ പരിചയപ്പെടാം. 

	2 + 1 = 3 ( മേൽഭാഗം  + കീഴ്ഭാഗം= മൊത്തം) 3 – 2 = 1 (മൊത്തം – മേൽഭാഗം= കീഴ്ഭാഗം) 3 – 1 =  2  (മൊത്തം – കീഴ്ഭാഗം= മേൽഭാഗം)
	4 + (-1) = 3 (മേൽഭാഗം  + കീഴ്ഭാഗം= മൊത്തം) 3 – 4 = -1 (മൊത്തം – മേൽഭാഗം= കീഴ്ഭാഗം) 3 – (- 1) =  4 (മൊത്തം – കീഴ്ഭാഗം= മേൽഭാഗം)

ഈ മോഡൽ കൂട്ടൽ, കുറയ്ക്കൽ, additive inverse എന്നീ ആശയങ്ങളെ നന്നായി ചിത്രീകരിക്കുന്നുവെങ്കിലും ഗുണനക്രിയ വിശദീകരിക്കാൻ ഇതു പോര.  

സംഖ്യാരേഖയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ മോഡലുകൾ: 

പൂർണസംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനക്രിയകൾ ചിത്രീകരിക്കാൻ സംഖ്യാരേഖയെ അടിസ്ഥാനമാക്കുന്ന നിരവധി മോഡലുകളുണ്ട്. അതിലൊന്ന് ഇവിടെ വിവരിക്കാം, മറ്റു ചിലതിനെ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാം. 

ഈ മോഡലിൽ തുടക്കത്തിൽ പൂജ്യത്തിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സ്ഥാനത്ത് വലത്തോട്ട് പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നിൽക്കുന്ന ഒരു റോബോട്ടിനെ സങ്കല്പിക്കുന്നു. ഇതു നിർദ്ദേശങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും ചലിക്കുകയും ‘എബൗട്ട് ടേൺ’ അടിച്ച് തിരിയുകയും ചെയ്യുന്നു. ഗണിതത്തിൽ ‘-’ ചിഹ്നത്തിന് രണ്ടർത്ഥമുണ്ടല്ലോ? ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന – ചിഹ്നം കണ്ടാൽ റോബോട്ട് തലതിരിക്കാതെ പിന്നോട്ടു നടക്കും. 5-6 എന്നതിൽ കാണുന്നപോലെ കുറയ്ക്കൽ എന്ന ഗണിതപ്രക്രിയയെ ആണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെങ്കിൽ റോബോട്ട് ‘എബൗട്ട് ടേൺ’ അടിക്കും.  

അതായത്  (+3) + (-6) എന്നു കണ്ടാൽ റോബോട്ട് ആദ്യം 3 ചുവട് മുന്നോട്ടു പോകും, പിന്നീട് തലതിരിക്കാതെ തന്നെ ചുവട് പിന്നോട്ടു നടന്ന് -3 ൽ എത്തും. 

അതേ പോലെ,  (+2) – (+3 ) എന്നാൽ 2 ചുവട് മുന്നോട്ട്, പിന്നീട് ഒരു ‘എബൗട്ട് ടേൺ’, അതുകഴിഞ്ഞ് തലതിരിഞ്ഞ അവസ്ഥയിൽ മുന്നോട്ട് 3 ചുവട്, അങ്ങനെ (-1) ൽ എത്തുന്നു. 

(-5) – (-7) എന്നാൽ അർത്ഥം ആദ്യം പിന്നോട്ട് 5 ചുവടുകൾ, പിന്നെയൊരു ‘എബൗട്ട് ടേൺ’, അതു കഴിഞ്ഞ് 7 ചുവടുകൾ പിൻനടത്തം. അങ്ങനെ (+2) വിൽ എത്തുന്നു. ഇതുപോലെ കുറച്ചു ക്രിയകൾ ചെയ്താൽ ഇടത്തോട്ട് തിരിഞ്ഞുനിന്ന് പിന്നോട്ടു നടന്നാൽ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നീങ്ങുമെന്ന് മനസ്സിലാകും.  

അടുത്തതായി ഗുണനക്രിയ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കാം.

(+2) ✕ (-4) എന്നാൽ അർത്ഥം വലതുഭാഗത്തേക്ക് തലതിരിച്ച് പിന്നോട്ട് 4 ചുവടു വീതം രണ്ടു വട്ടം നടക്കുക.

(-4) ✕ (+2) എന്നാൽ ഇടതുഭാഗത്തേക്ക് (അതായത് നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ) 4 വട്ടം 2 ചുവടു വീതം മുന്നോട്ടു നടക്കുക.

(-5) ✕ (-3) എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ തിരിഞ്ഞതിനു ശേഷം 3 വട്ടം 5 ചുവടു വീതം പിൻനടത്തം. 

ഈ മോഡൽ ഗണിതക്രിയകളിലെല്ലാം പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ഉത്തരങ്ങൾ തന്നെ നൽകുന്നു. എന്നാൽ ഗുണനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം അനുസരിച്ച് മുഖം തിരിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം അനുസരിച്ച് ചലനദിശ തീരുമാനിക്കുകയും വേണം. അതായത് ‘-’ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ആദ്യസംഖ്യയിലും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയിലും വ്യത്യസ്തമായി വ്യാഖ്യാനിക്കണം. അതുകൊണ്ട് ഈ മാതൃകയ്ക്ക് ഒരു വശപ്പിശക് ഉണ്ട്. 

സമാനമായ യുക്തി ഉപയോഗിക്കുന്ന വേറെയും മോഡലുകൾ ഉണ്ട്. 0^oC -നു മുകളിലും താഴെയുമുള്ള താപനിലകൾ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നത്, സമുദ്രനിരപ്പിൽനിന്ന്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ബഹുനില കെട്ടിടത്തിൻ്റെ തറനിരപ്പിൽനിന്ന് ഉള്ള ഉയരത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എല്ലാം ഇതിന് ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. സമ്പത്തിൻ്റെയും കടത്തിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള മോഡലും ക്ലാസ്സ്മുറികളിൽ പരീക്ഷിച്ചുനോക്കിയിട്ടുണ്ട് (Menon, 2012, 2015). ഇവയിൽ ചിലതൊക്കെ ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടലും ഗുണിക്കലുമൊക്കെ നടത്തുമ്പോൾ ചിഹ്നങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നുവെങ്കിലും ആ രീതിയിൽ കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യുന്നതിൻ്റെ യുക്തി ബോദ്ധ്യപ്പെടുത്തുകയോ തെളിവു നൽകുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല. 

നെഗറ്റീവിനെ നെഗറ്റീവ് കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ പോസിറ്റീവ് കിട്ടുമെന്നതിന് മറ്റു ചില വിശദീകരണങ്ങൾ:

നെഗറ്റീവിനെ നെഗറ്റീവ് കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ പോസിറ്റീവ് കിട്ടുമെന്നതിന് മാതൃകകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലല്ലാതെ യുക്തിപൂർവ്വമായും വാദിക്കാം. പ്രശസ്ത ഗണിതജ്ഞൻ ഓയ്‌ലർ (Euler) സമമിതി തത്വം (symmetry principle) ഉപയോഗിച്ച് ഇതു സമർത്ഥിച്ചു.

3 ✕ -2 എന്നത് -2 വിൻ്റെ 3 മടങ്ങ് ആണല്ലോ? അതായത്, -2 + -2 + -2 = -6.

ഗുണിതത്തിൻ്റെ commutative property പ്രയോജനപ്പെടുത്തിയാൽ -2 ✕ 3 = 6 എന്നും എഴുതാം. ഇതിനെ സാമാന്യവത്കരിച്ചാൽ  –a ✕ b = b ✕ -a = -ab എന്നെഴുതാം. 

S (-a) ✕ b യും  b ✕ (-a) തുല്യമായതിനാൽ അതിനെ -ab എന്നെഴുതാം. Euler argued that (-a) ✕ (-b) ഇതിൽനിന്നും വ്യത്യസ്തമാകണമെന്നും അതിനാൽ ab ആകണമെന്നും ഓയ്‌ലർ വാദിച്ചു. 

ഹാൻസ് ഫ്രൂഡെൻതാൽ (Hans Freudenthal) എന്ന മറ്റൊരു ശാസ്ത്രജ്ഞൻ  “algebraic permanence principle”  എന്ന ഒരു തത്വം പ്രയോഗിച്ച് ഇതു ശരിയാകണമെന്നു വാദിച്ചു. പ്രസ്താവനകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിൽ അതു യോജിച്ചുപോകുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അത് നമുക്ക് സ്വീകരിക്കാം എന്നതാണ് ഈ തത്വം. ഈ പട്ടിക നോക്കുക. 

A	B	C	D
3 – 2 = 1	3 x 3 = 9	3 x 3 = 9	-3 x 3 = -9
3 – 1 = 2	3 x 2 = 6	2 x 3 = 6	-3 x 2 = -6
3 – 0 = 3	3 x 1 = 3	1 x 3 = 3	-3 x 1 = -3
3 – (-1 )=	3 x 0 = 0	0 x 3 = 0	-3 x 0 = 0
3 – (-2) =	3 x -1 =	-1 x 3 = -3	-3 x -1 =
	3 x -2 =	-2 x 3 =	-3 x -2 =

കോളം A-യിലെ പ്രസ്താവനകളുടെ പരമ്പര സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഒരു ന്യൂനസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് അത്ര വലിപ്പമുള്ള ഒരു ധനസംഖ്യ കൂട്ടുന്നതിനു തുല്യമാണെന്നാണ്. അതായത് “minus of minus is plus”. അതേപ്പോലെ കോളം B കാണിച്ചുതരുന്നത്  a ✕ -b = -ab എന്നാണ്. കോളം C ആകട്ടെ, –a ✕  b = -ab. എന്നു ബോദ്ധ്യപ്പെടുത്തുന്നു. ഇതു രണ്ടും ചേർത്തുവെച്ചാൽ ഒന്നു പോസിറ്റീവും മറ്റൊന്ന് നെഗറ്റീവും ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് തെളിയുന്നു. കോളം D ആകട്ടെ, അതിൽ കാണുന്ന പാറ്റേണിന് സ്വാഭാവികമായ തുടർച്ച ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് x നെഗറ്റീവ് = പോസിറ്റീവ് ആകണമെന്ന് കാണിച്ചുതരുന്നു.

ഇക്കാര്യത്തിലുള്ള മറ്റൊരു സമീപനം preservation principle എന്ന തത്വത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ളതാണ്. ചില സവിശേഷ കേസുകളിൽ സാധുവായ ഒരു കാര്യം സാമാന്യവൽകരിച്ച് കൂടുതൽ മേഖലകളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ തത്വം. എണ്ണൽ സംഖ്യകൾക്ക് ശരിയായ ഗുണവിശേഷങ്ങൾ എല്ലാ പൂർണസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാകുമെന്നു കരുതുന്നത് ഇതിന് ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. 

എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ സ്വഭാവവിശേഷങ്ങളിൽനിന്ന് ന്യൂനസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുന്നതു സംബന്ധിച്ച തത്വങ്ങളിലേക്ക് (പ്രത്യേകിച്ചും വിതരണനിയമം – distributive law) എങ്ങനെ എത്താമെന്ന് ഇവിടെ ഒരു ചിത്രത്തിലൂടെ കാണാം. 

ഇവിടെ കാണുന്ന വലിയ ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് ab ആണ്. ചുവപ്പു രാശിയുള്ള ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് (a – d) (b – c) ആകുന്നു. വലിയ ദീർഘചതുരത്തിൽനിന്ന് ചെറുത് എടുക്കാൻ മുകളിലും ഇടതുഭാഗത്തും ഉളള ഭാഗങ്ങൾ മുറിച്ചുമാറ്റണം. ഇതിൽ മുകൾ ഭാഗത്തുള്ള ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് ac യും ഇടതുഭാഗത്തുള്ളതിൻ്റെ പരപ്പളവ് db യും ആണല്ലോ? പക്ഷേ, ഈ രണ്ടു പരപ്പളവുകളും വലിയ ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പരപ്പളവിൽ നിന്നു കുറച്ചാൽ dc വലിപ്പമുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പരപ്പളവ് രണ്ടു വട്ടം കുറയ്ക്കും. അതുകൊണ്ട് dc തിരികെ ചേർക്കേണ്ടിവരും. ഇതു സമവാക്യ രൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ

(b – c)(a – d) = ba – bd – ca + cd എന്നു ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യം എഴുതാൻ നമ്മൾ a, b, c, d > 0, b>c, a>d എന്നൊക്കെ കരുതിയിട്ടുണ്ടല്ലോ? എന്നാൽ ഈ സമവാക്യം എല്ലാ കേസുകളിലും ശരിയാകുമെന്ന് നമ്മൾ അതിനെ സാമാന്യവൽകരിക്കുകയാണെന്നു കരുതുക. ഇനി നമ്മൾ മുകളിൽ കൊടുത്ത സമവാക്യത്തിൽ a = 0 എന്നും b = 0 എന്നും കൊടുക്കുകയാണെങ്കിൽ

-c ✕ -d = dc. 

എന്നു കിട്ടുമല്ലോ?

മുകളിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വാദം പ്രാഥമികമായും വിതരണനിയമം എന്ന സ്വഭാവ വിശേഷം ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയാണ്. പക്ഷേ, ഇത് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ മറ്റു സ്വഭാവ വിശേഷങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്. കൂടുതൽ അറിയാൻ റഫറൻസിൽ കൊടുത്തിട്ടുള്ള ബ്രൗണിൻ്റെ പേപ്പർ വായിക്കുക. ഗണിതത്തിൻ്റെ കർശനമായ മുറപ്രകാരമുള്ള പ്രൂഫ് വേണമെന്നുള്ളവർ തുടർന്നു വായിക്കുക.  

എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണവിശേഷങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇങ്ങനെ എഴുതാം: 

 a ✕ 0 = 0  (0 കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുക)

a ✕ (b + -b) = 0  (സങ്കലന വിപരീതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷം)

a ✕ b + a ✕ (-b) = 0. ( വിതരണനിയമം)

ab യോടു കൂട്ടുമ്പോൾ 0 തരുന്ന സംഖ്യ? -(ab) . 

“0 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ 0” എന്ന സ്വഭാവവിശേഷവും വിതരണനിയമവും ആവശ്യപ്പെടുന്നത് a ✕ (-b) = -(ab). ക്രമ നിയമത്തിൽ (commutative property) നിന്നു ആവശ്യമായി വരുന്നത്

(-b) ✕  a = -(ab). 

അടുത്തതായി, –a ✕ 0 = 0

-a ✕ (b + -b) = 0

-a ✕ b + -a ✕ -b = 0.

-ab +  -a ✕ -b = 0.

-ab യോട് എന്തു കൂട്ടിയാലാണ് 0 ആകുക? 

+ ab ആണല്ലോ? അതിനാൽ -a ✕ -b = ab

എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ക്രിയകളിലെ സ്വഭാവ വിശേഷങ്ങൾ എല്ലാ പൂർണസംഖ്യകൾക്കും ബാധകമാകണമെന്ന ആഗ്രഹത്തിൽ നിന്നുമാണ് -a ✕ -b എന്നത് ab ആണെന്ന ‘നിർവ്വചന’ത്തിലേക്ക് നാം എത്തിച്ചേർന്നത്. 

രണ്ടു ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു ധനസംഖ്യയാണെന്നു പഠിക്കുമ്പോഴാണ് ഒരു പക്ഷേ, ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ആദ്യമായി സഹജാവബോധത്തോടെയല്ലാതെ ‘ഔപചാരിക ഗണിത’വുമായി ഒരു ഉരസൽ അനുഭവിക്കുന്നത്. 

ഈ ആശയത്തിൻ്റെ കർക്കശമായ ഒരു ആവിഷ്കാരമെന്നത് സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശേഷിക്കും അപ്പുറത്തായിരിക്കാം.  പക്ഷേ, ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ച ഓഡെൻ്റ അദ്ധ്യാപകനേക്കാൾ മെച്ചപ്പെട്ട രീതിയിൽ നമുക്ക് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും. ന്യൂനം ഗുണം ന്യൂനം സമം ധനം എന്നതു മനസ്സിൽ ആക്കാൻ ഞാൻ ഇവിടെ കൊടുത്തിട്ടുള്ള ഏതെങ്കിലുമൊക്കെ വിശദീകരണങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടും എന്നു പ്രത്യാശിക്കട്ടെ.

---

റഫറൻസുകൾ:

1. Arcavi, A., & Bruckheimer, M. (1981). How shall we teach the multiplication of negative numbers?. Mathematics in School, 10(5), 31-33.
2. Brown, S. I. (1969). Signed numbers: A “product” of misconceptions. The Mathematics Teacher, 62(3), 183-195.
3. Menon, U., & Gyan, J. (2012). Extending numbers with number sense. In Proceeding in The 12th International Congress on Mathematical Education, Topic Study Group (Vol. 7, pp. 1845-1854).
4. Menon, U. (2015). Multiplying integers: Mathematizing to make sense. In Proceedings of the epiSTEME 6 International Conference to Review Research on Science, Technology and Mathematics Education (pp. 93-101).
5. Why is a negative times a negative a positive?, Bill McCallum, Mathematical Musings >>>

---

---

---