Negative Numbers: A Peep into the History
Dr. Jayasree Subramanian
Negative numbers has been a historically difficult concept to come to terms with. Mathematicians of as late as the 16th and 17th centuries have had difficulties accepting this concept – here is a quote from the writings of the great 17th-century mathematician Blaise Pascal after whom the familiar Pascal’s triangle is named, and who has to his credit many important mathematical discoveries, including the theory of probability. “ I know people who cannot understand that when you subtract four from zero what is left is zero”. We as teachers expect middle school students to come to terms with the notion of negative numbers and work with them fluently within a matter of a few periods. What has taken mathematicians a few centuries we expect students to do in a few months. No wonder this is one of the topics students find difficult.
The moment negative numbers are involved in a procedure, it suddenly becomes a significantly more difficult question. Very often students take a rule-following approach, negative plus negative is negative, negative minus negative may be positive or negative depending on the “magnitudes” of the subtrahend and the minuend, but negative times negative is definitely positive. These remain rules and we see students making mistakes very often as they use these rules in calculations. This may be because the mathematics that they have encountered so far has been abstracted away from real-life situations familiar to them, Counting numbers have a real-life model in the counting of physical objects like oranges, stones, or candies. The circle concept has a real-life model in a bangle or a dosa. But trying to create a real-life model for negative numbers leads to some conceptual difficulties and these baffled mathematicians of the 16th and 17th centuries as well. How does one take away 8 cows from 5 cows? What can be less than nothing? Why should negative times negative be positive? What does it even mean to multiply a negative number by a negative number? As teachers, these are questions that we would have encountered at some time or other in our journeys of teaching and learning mathematics.
In the first part of this article, we trace the evolution of the concept of negative numbers in many cultures across the ages, with a focus on the conceptual difficulties that mathematicians of the time had. Surprisingly these are the very difficulties that we see our students struggling with. In the following part, we look at what we can learn from these difficulties and use them to our advantage as we teach negative numbers.
Evolution of negative numbers:
The first written evidence of the use of negative numbers comes from China in a text Nine Chapters on the Mathematical Art dating back to the third century. This text, by Liu Hui, is a compendium of the mathematical concepts and techniques developed from 1000 BC. Hui records the use of “counting boards” on which red rods were used for positive numbers ( and called zheng meaning “gains”) and black rods for negative numbers (called fu or losses). If different coloured rods were not available, placing a diagonal rod across the last digit could represent a negative number. For example, -22 could be written as
The red and black counting rods were used to cancel each other. These rods were used in commercial calculations, tax collections etc. The Chinese thought of a negative number as a number to be subtracted from another quantity or as an amount yet to be paid etc. In some problems, the amount of money received from a sale is represented as positive and the money spent is represented as negative.
The book also describes a method of solving a system of linear equations which resembles the Guassian elimination method that we use today. In adding and subtracting multiples of one equation from another, negative numbers appear frequently. In this context, Liu remarks that “Interchanging the red and black rods in any column is immaterial.” This corresponds to multiplying an equation by -1.
In India, The 7th Century treatise by Brahmagupta – Brahma-sphuta-siddhanta includes two chapters on the mathematical concepts developed over the previous centuries. These chapters refer to positive numbers as “fortunes” and negative numbers as “debts” and spell out correct rules for integer operations, including the rules: a debt subtracted from a zero is a fortune and a product or quotient of two debts is a fortune. The only deviation where Brahmagupta’s rules differ from the modern rules is the assertion that 0/0 = 0. There are instances of the use of negatives in Indian astronomy as well, for example in calculating the rising time of a star based on its celestial coordinates and predicting the position of a star based on the prevailing theory of planetary motion.
Bhaskara II, a twelfth-century mathematician found solutions to quadratic equations including negative solutions but regarded them as “inadequate” and discarded them, probably because Bhaskara and his contemporaries almost always dealt with problems describing physical objects, like the number of bees in a swarm or the number of flowers in a bouquet, and therefore a negative solution does not make sense. But in another problem, Bhaskara interprets a negative distance as distance in a contrary direction without much of an explanation, indicating that such an interpretation was common during the times. The notion of a number line, and an interpretation of positive and negative numbers as coordinates on either side of the origin can be traced to a verse in Bhaskara’s Lilavati. A plausible conjecture is that the highly developed tradition of accounting that prevailed in India may have led to the full understanding of negative numbers.
Greek mathematics on the other hand is rooted in Geometry and concerned with lines, lengths, and areas. Perhaps because of this and the absence of a positional number system negative numbers did not arise in Greek mathematics. Even when Euclid dealt with problems such as bending a given length of wire to form a rectangle of a given area, which led to quadratic equations with negative roots as well, the negative roots were ignored as inconsequential. Diophantus the Greek mathematician who was one of the first mathematicians to use symbols in his calculations and is known to have solved a great variety of equations did not recognise a negative number as a valid solution to an equation. In his book Arithmetica, he calls the equation 4x + 20 = 4 as “absurd” because it has a negative solution. In this case, Greek mathematics becomes notable for what was not done as opposed to what was done.
Influenced by Brahmagupta’s writings, the 9th Century Arab mathematician Al-Khwarizmi uses the same rules of calculations with negative numbers, but there are very few instances where he has used negative numbers. A striking thing about Al-Khawarizmi’s work is that though there are numerous examples of solutions of quadratic equations, all of them always have positive coefficients. He identified three types of equations and each had a different approach to the solution, which involved what we call as “completing the square” in modern terms. The three types are
- ax 2 + bx = c, a, b, c > 0 (referred to as “roots and squares are equal to numbers”)
- ax 2 + c = bx, a, b, c > 0 (“squares and numbers are equal to roots”)
- ax 2 = bx + c, a, b, c > 0 (“roots and numbers are equal to squares”)
For example starting with an equation like
6×2-4x + 1 = 5×2+ 3
The first step in Al-Khawarizmi’s algorithm is what he calls Al-jabr or restoration, namely adding 4x to remove the negative coefficient. The equation then becomes
6×2+ 1 = 5×2+4x + 3
The next step in the solution algorithm is to subtract 5x2 and 1 from both sides to get
x2= 4x + 2
Which fits into one of the three forms.
This separation of quadratic and cubic equations to types to avoid negative coefficients continues in the European tradition as well and the mathematicians involved seemed unable to view these equations as “types” of variants of one quadratic/cubic form with some negative coefficients. Cardano ( (1501- 1576) described how to solve 13 distinct cases of cubic equations and 44 types of derivative cases because he insisted that all the coefficients had to be positive and the equation had to equate a positive quantity to another positive quantity. He did recognise that some of his equations had negative solutions but calls them “fictitious” and systematically ignores them. However he worked with negative numbers and their square roots in the intermediate steps in obtaining rational solutions to cubic equations and quartics. In a problem involving dividing 10 into two parts the product of which is 40, he obtains the two parts as 5 + -15 and 5 – -15 and comments on the “uselessness” of such subtlety in mathematics. He also toys with the idea that (-1)2 = (-1). The counterintuitive nature of the rule for multiplying two negatives may have been confusing to mathematicians as well. In Europe in the 15th – 17th centuries we see mathematicians coming to terms with these hitherto unfamiliar numbers while viewing them with suspicion. By the 18th century negative numbers became more acceptable and operations with them were treated more rigorously. We now look at some of the conceptual difficulties that mathematicians had with negative numbers.
Negative Numbers – conceptual difficulties
In his book “Geometry” Antoine Arnauld (1612 – 1694) points out one way in which negative numbers goes against our basic intuitions on magnitudes and proportions. His reasoning goes as follows : Suppose we have two numbers, a larger and a smaller one. The proportion of the larger to the smaller one should evidently be larger than the proportion of the smaller to the larger one. But if we use 1 as the larger number and – 1 as the smaller one this would lead to
1-1> -11 which is against the rules of algebra. Leibniz (1646 – 1716) acknowledges the problem as a genuine one, but states that division should be performed as a symbolic calculation.
Treatise on Algebra written in 1685 by John Wallis (1616 – 1703) is one of the first attempts at clarifying negative numbers. Wallis clearly defines negative numbers and justifies the rules for operations on negative numbers. He also goes on to write out the formulae for roots of equations without separating them into cases like Al-Khawarizmi and Cardano. Wallis also goes on to give the first explicit use of the full number line in Western literature, positives to the right, negatives to the left. Despite the clear explanations for all this, Wallis considers negative integers to be larger than +∞. His reasoning was along these lines: The reciprocal 1/n grows smaller as n becomes larger and goes to zero as n goes to infinity. 1/n grows larger as n becomes smaller, grows to infinity as n becomes zero. Now negative integers are smaller than 0. So the ratio of a positive number to a negative number has to be larger than +∞.
Given that twists and turns in the understanding of negative numbers even among mathematicians and that it has taken centuries to establish a rigorous foundation for negative numbers, it should come as no surprise that this raises questions and difficulties in today’s classrooms as well. Within the whole number arithmetic, addition results in an increase in magnitude. Addition of 0 is a special case which leaves the magnitude unchanged. A student who answers (+3) + (-3) = 3 based on this common sense notion that adding “less than nothing” will also have no effect on the magnitude is not entirely unreasonable. There is no way that one can attach a “concrete” model that gives a satisfactory explanation to all rules of computation with negative numbers. The intellectual obstacles that blocked the understanding of this concept through its historical evolution may prove to be a hurdle to students as well. More on understanding and handling such hurdles in Part II of this article.
Conclusion
As we trace the evolution of negative numbers we see that some ancient societies, notably China and India seem to have engaged with negative numbers and incorporated them into their mathematical thinking, whereas others like Babylonians and Egyptians were perhaps more concerned with measurement considerations and regarded positive numbers as the only proper ones. Ancient Greeks shifted mathematics to more abstract realms and infused rigour in it. But these were rooted in geometric diagrams and hence did not admit negative numbers as solutions to problems. By the end of the first millennium negative numbers were seen to be useful in arithmetic, dominantly in financial matters but were still avoided in algebra. It took another 7 -8 centuries for negative numbers to get a rigorous treatment.
ചരിത്രപരമായി നോക്കുമ്പോൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ആശയമാണ് ന്യൂനസംഖ്യകളുടേത് (negative numbers). പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെയും പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലെയും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ ആശയം മനസ്സിലാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടായിരുന്നു. ഉദാഹരണമായി പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലെ മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ബ്ലെയ്സ് പാസ്കലിന്റെ (Blaise Pascal) കാര്യമെടുക്കുക. അദ്ദേഹം പ്രസിദ്ധനാണ്. ‘പാസ്കലിൻ്റെ ത്രികോണം’ ഇദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേരിലാണ്. കൂടാതെ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഉൾപ്പെടെ നിരവധി പ്രധാന ഗണിതശാസ്ത്രസംബന്ധമായ കണ്ടെത്തലുകൾ അദ്ദേഹത്തിന്റേതായി ഉണ്ട്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദ്ധരണി നോക്കൂ: “പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് നാല് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് പൂജ്യമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത ആളുകളെ എനിക്കറിയാം”
വിദ്യാർത്ഥികൾ ന്യൂനസംഖ്യകൾ എന്ന ആശയവുമായി വേഗത്തിൽ പൊരുത്തപ്പെടുകയും കുറഞ്ഞ കാലയളവിനുള്ളിൽതന്നെ അതു അനായാസമായി പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുമെന്ന് അദ്ധ്യാപകർ എന്ന നിലയിൽ നമ്മൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നൂറ്റാണ്ടുകളെടുത്ത് മനസ്സിലാക്കിയ കാര്യങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ മാസങ്ങൾക്കുള്ളിൽ മനസ്സിലാക്കിയെടുക്കുമെന്ന് നമ്മൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് ശരിയല്ല. ചുമ്മാതല്ല, ന്യൂനസംഖ്യകൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയങ്ങളിലൊന്നായത്.
ഒരു ഗണിതപ്രശ്നത്തിൽ ന്യൂനസംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന നിമിഷം, അത് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രശ്നമായി മാറുന്നു. മിക്കപ്പോഴും വിദ്യാർത്ഥികൾ ഒരു ചട്ടപ്പടി സമീപനം സ്വീകരിക്കുന്നു, ന്യൂനവും ന്യൂനവും കൂട്ടിയാൽ ന്യൂനം, ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ന്യൂനസംഖ്യ കുറച്ചാൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ “കേവലവിലയെ’” ആശ്രയിച്ച് ഉത്തരം അധിസംഖ്യയോ ന്യൂനസംഖ്യയോ (positive or negative number) ആകാം, എന്നാൽ ന്യൂനസംഖ്യയെ ന്യൂനസംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഉത്തരം എല്ലായ്പോഴും അധിസംഖ്യയാണ്. ഇവ നിയമങ്ങളായി തുടരുന്നു, ഗണിതക്രിയകളിൽ ഈ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ പലപ്പോഴും തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നത് കാണാം. അവർ ഇതുവരെ പഠിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രം പരിചിതമായ യഥാർത്ഥ ജീവിതസാഹചര്യങ്ങളിൽനിന്ന് അമൂർത്തമാക്കപ്പെട്ടതുകൊണ്ടായിരിക്കാം ഇത്. ഓറഞ്ച്, കല്ലുകൾ, മിഠായികൾ തുടങ്ങിയ ഭൗതിക വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണത്തിൽ എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്ക് യഥാർഥമായ ഒരു മാതൃകയുണ്ട്. വൃത്തമെന്ന ആശയത്തിന് ഒരു വളയിലോ ദോശയിലോ ഒരു യഥാർത്ഥ മാതൃകയുണ്ട്. എന്നാൽ ന്യൂനസംഖ്യകൾക്കായി ഒരു യഥാർത്ഥ മാതൃക സൃഷ്ടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് ആശയക്കുഴപ്പങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. 16, 17 നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെയും ഇത് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കിയിരുന്നു. 5 പശുക്കളിൽ നിന്ന് 8 പശുക്കളെ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം? ഒന്നുമില്ലാത്തതിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞത് മറ്റെന്താണ്? എന്തുകൊണ്ടാണ് ന്യൂനസംഖ്യ ഗുണം ന്യൂനസംഖ്യ അധിസംഖ്യ ആകുന്നത്? ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയെ മറ്റൊരു ന്യൂനസംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? അദ്ധ്യാപകർ എന്ന നിലയിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നതിനും പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുമുള്ള ശ്രമങ്ങളിൽ നാം അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങളാണിവ.
ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യഭാഗത്ത്, ആദ്യകാലഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഉണ്ടായിരുന്ന ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ കണക്കിലെടുത്ത് ന്യൂനസംഖ്യകൾ എന്ന ആശയത്തിന്റെ വികാസ പരിണാമങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു. അന്ന് ആ ഗണിതജ്ഞർ അഭിമുഖീകരിച്ച ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ തന്നെയാണ് ഇന്നു നമ്മുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾ നേരിടുന്നത്. ലേഖനത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗത്ത്, ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുകളിൽനിന്ന് നമുക്ക് എന്താണ് പഠിക്കാൻ കഴിയുകയെന്ന് നോക്കുകയും അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന അറിവുകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നു പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ പരിണാമം
ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗത്തിന്റെ രേഖാമൂലമുള്ള ആദ്യത്തെ തെളിവ് മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ‘ഗണിതകലയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒമ്പത് അധ്യായങ്ങൾ (Nine Chapters on the Mathematical Art)’ എന്ന ചൈനീസ് കൃതിയിൽനിന്നു ലഭിക്കുന്നു. ബി സി 1000 മുതൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളുടെയും സാങ്കേതികവിദ്യകളുടെയും സമാഹാരമാണ് ലിയു ഹുയി എഴുതിയ ഈ ഗ്രന്ഥം. അധിസംഖ്യകൾക്ക് (നേട്ടങ്ങൾ എന്നർത്ഥം വരുന്ന ഷെങ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന) ചുവന്ന വടികളും ന്യൂനസംഖ്യകൾക്ക് (ഫു അല്ലെങ്കിൽ നഷ്ടം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന) കറുത്ത വടികളും ഉപയോഗിക്കുന്ന ‘എണ്ണൽ ബോർഡുകളുടെ’ ഉപയോഗം ഹുയി രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.
വ്യത്യസ്ത നിറത്തിലുള്ള വടി ലഭ്യമല്ലെങ്കിൽ, അവസാന അക്കത്തിന് കുറുകെ ഒരു ഡയഗണൽ വടി വയ്ക്കുന്നത് ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്,-22 എന്ന് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
ചുവപ്പും കറുപ്പും എണ്ണുന്ന വടി പരസ്പരം റദ്ദാക്കാൻ ഉപയോഗിച്ചു. വാണിജ്യപരമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ, നികുതി പിരിവുകൾ മുതലായവയിൽ ഈ വടി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ചൈനക്കാർ ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയെ മറ്റൊരു അളവിൽനിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ട ഒരു സംഖ്യയായോ അല്ലെങ്കിൽ ഇനിയും അടയ്ക്കേണ്ട തുകയായോ കണക്കാക്കി. ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരു വിൽപ്പനയിൽനിന്ന് ലഭിക്കുന്ന തുക പോസിറ്റീവായും ചെലവഴിച്ച പണം നെഗറ്റീവായും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഇന്നു നാം ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗ്വാസിയൻ എലിമിനേഷൻ രീതിയുമായി (Gaussian elimination method) സാമ്യമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയും പുസ്തകം വിവരിക്കുന്നു. ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾ മറ്റൊന്നിൽനിന്ന് കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഇടയ്ക്കിടെ കടന്നുവരുന്നു. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ‘ഏത് നിരയിലും ചുവപ്പും കറുപ്പും നിറത്തിലുള്ള തണ്ടുകൾ പരസ്പരം മാറ്റുന്നത് അപ്രധാനമാണ്’ എന്ന് ലിയു അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു. ഇത് ഒരു സമവാക്യത്തെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് സമാനമായ പ്രക്രിയയാണ്.
ഇന്ത്യൻ ഗണിതജ്ഞൻ ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ്റെ ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ രചിച്ച ഗ്രന്ഥമായ ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തത്തിൽ മുൻ നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ വികസിപ്പിച്ച ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ട് അധ്യായങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ അധ്യായങ്ങൾ അധിസംഖ്യകളെ ‘സമ്പത്ത്’ എന്നും ന്യൂനസംഖ്യകളെ ‘കടങ്ങൾ’ എന്നും പരാമർശിക്കുകയും ഗണിതക്രിയകൾക്കുള്ള ശരിയായ നിയമങ്ങൾ വിവരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. പൂജ്യത്തിൽനിന്ന് കുറയ്ക്കുന്ന കടം സമ്പത്താണ്, രണ്ട് കടങ്ങളുടെ ഗുണനമോ ഹരണമോ സമ്പത്താണ്. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ നിയമങ്ങൾ ആധുനിക നിയമങ്ങളോട് പൊതുവെ യോജിക്കുമെങ്കിലും ഒരേയൊരു വ്യതിയാനം 0/0 = 0 എന്ന അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ വാദമാണ്. ഇന്ത്യൻ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തിലും ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നക്ഷത്രത്തിന്റെ ആകാശ കോർഡിനേറ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അതിന്റെ ഉയരുന്ന സമയം കണക്കാക്കുന്നതിലും നിലവിലുള്ള ഗ്രഹചലന സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു നക്ഷത്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം പ്രവചിക്കുന്നതിലും ന്യൂനസംഖ്യകളെ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്.
12-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഭാസ്കരൻ രണ്ടാമൻ (Bhaskara II) ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരമായി ന്യൂനസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ അവ ‘അപര്യാപ്തമാണെന്ന്’ കണക്കാക്കുകയും ഉപേക്ഷിക്കുകയും ചെയ്തു. ഒരുപക്ഷേ, ഭാസ്കരനും അദ്ദേഹത്തിന്റെ സമകാലികരും എല്ലായ്പോഴും ഒരു കൂട്ടത്തിലെ തേനീച്ചകളുടെ എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ പൂച്ചെടിയിലെ പൂക്കളുടെ എണ്ണം എന്നതു പോലുള്ള ഭൗതിക വസ്തുക്കളെ വിവരിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തതുകൊണ്ടാകാം ന്യൂനസംഖ്യകൾക്ക് പ്രസക്തിയില്ലെന്നു കരുതിയത്. എന്നാൽ മറ്റൊരു പ്രശ്നത്തിൽ, ഭാസ്കരൻ ഒരു നെഗറ്റീവ് ദൂരത്തെ വിപരീതദിശയിലുള്ള ദൂരമായി വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നു. ഇത് അക്കാലത്ത് അത്തരമൊരു വ്യാഖ്യാനം സാധാരണമായിരുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സംഖ്യാരേഖയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയവും അധി-ന്യൂന സംഖ്യകളെ പൂജ്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുമുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളായി വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നതും ഭാസ്കരന്റെ ലീലാവതിയിലെ ഒരു വാക്യത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. ഇന്ത്യയിൽ നിലനിന്നിരുന്ന വളരെ വികസിതമായ അക്കൗണ്ടിംഗ് പാരമ്പര്യം ന്യൂനസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് പൂർണ്ണമായ ധാരണയിലേക്ക് നയിച്ചിരിക്കാം എന്നതാണ് വിശ്വസനീയമായ ഒരു അനുമാനം.
മറുവശത്ത് ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം ജ്യാമിതിയിൽ വേരൂന്നിയതും വരികൾ, നീളം, പരപ്പളവ് എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതുമാണ്. ഒരുപക്ഷേ, ഇതും പൊസിഷണൽ നമ്പർസിസ്റ്റത്തിന്റെ അഭാവവും കാരണം ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഉയർന്നുവന്നില്ല. ഒരു നിശ്ചിത പരപ്പളവുള്ള ദീർഘചതുരം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനായി നിശ്ചിത നീളമുള്ള വയർ വളയ്ക്കുന്നതുപോലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ യൂക്ലിഡ് കൈകാര്യം ചെയ്തപ്പോൾ, നെഗറ്റീവ് ഉത്തരങ്ങളുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചു. എന്നാൽ, നെഗറ്റീവ് ഉത്തരങ്ങൾ അപ്രസക്തമാണെന്ന ധാരണയിൽ അവ അവഗണിക്കപ്പെട്ടു. തൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായ ഡയോഫാന്റസ് എന്ന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഒരു ന്യൂനസംഖ്യയെ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ സാധുവായ ഉത്തരമായി അംഗീകരിച്ചില്ല. തന്റെ അരിത്ത്മെറ്റിക്ക എന്ന പുസ്തകത്തിൽ അദ്ദേഹം \(4x + 20 = 4 \) എന്ന സമവാക്യത്തെ ‘അസംബന്ധം’ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന് ന്യൂനസംഖ്യയാണ് ഉത്തരം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം അവർ ‘ചെയ്തതിനെ’ അപേക്ഷിച്ച് ‘ചെയ്യാത്തതിൻ്റെ’ പേരിൽ ശ്രദ്ധേയമാണ്.
ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ രചനകൾ സ്വാധീനം ചെലുത്തിയ ഒൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ അൽ-ഖ്വാരിസ്മി ന്യൂനസംഖ്യകളുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ അതേ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. പക്ഷേ, അദ്ദേഹം ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച സന്ദർഭങ്ങൾ വളരെ കുറവാണ്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർധാരണത്തിന് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ടെങ്കിലും അവയ്ക്കെല്ലാം എല്ലായ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ഗുണകങ്ങൾ (coefficients) ഉണ്ട് എന്നതാണ് അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ കൃതിയിലെ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു കാര്യം. അദ്ദേഹം മൂന്നുതരം സമവാക്യങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞിരുന്നു. അവ ഓരോന്നിനും നിർദ്ധാരണത്തിന് വ്യത്യസ്തമായ സമീപനങ്ങളുമുണ്ടായിരുന്നു. അതിൽ ഇക്കാലത്ത് “completion of square” എന്ന് നമ്മൾ വിളിക്കുന്ന രീതിയും ഉൾപ്പെടുന്നു. മൂന്ന് തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഇവയാണ്:
$$ ax^2+bx+c; a, b, c>0$$
$$ ax^2+c=bx; a, b, c>0$$
$$ ax^2=bx+c; a, b, c>0$$
ഉദാഹരണത്തിന്,
$$6x^2-4x+1=5x^2+3$$
എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ അൽഗോരിതത്തിലെ ആദ്യഘട്ടത്തെ അദ്ദേഹം അൽ-ജബർ അല്ലെങ്കിൽ പുനഃസ്ഥാപനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത് ന്യൂന ഗുണകം (negative coefficient) നീക്കം ചെയ്യുന്നതിന് \(4x\) ചേർക്കുന്നു. അപ്പോൾ സമവാക്യം
$$ 6x^2+1=5x^2+4x+3 $$
ആയി മാറുന്നു. അടുത്ത പടിയായി ഇരുവശത്തുനിന്നും \(5x^2\), 1 എന്നിവ കുറയ്ക്കുന്നു. അങ്ങനെ
$$x^2= 4x + 2$$
എന്നു ലഭിക്കുന്നു. ഇതു മുൻപു സൂചിപ്പിച്ച മൂന്നു തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ?
ഇത്തരത്തിൽ നെഗറ്റീവ് ഗുണകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നതിനായി ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങളെ വിവിധ തരങ്ങളാക്കി വേർതിരിക്കുന്ന രീതി യൂറോപ്യൻ പാരമ്പര്യത്തിലും തുടർന്നു. ഉദാഹരണമായി കാർഡാനോ (Cardano, 1501- 1576) എന്ന ഗണിതജ്ഞൻ്റെ കാര്യമെടുക്കുക. എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണമെന്നും സമവാക്യം ഒരു പോസിറ്റീവ് അളവിനെ മറ്റൊരു പോസിറ്റീവ് അളവിനോട് തുല്യമാക്കണമെന്നും വാശി പിടിച്ച അദ്ദേഹം ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിന്റെ 13 വ്യത്യസ്ത കേസുകളും 44 തരം ഡെറിവേറ്റീവ് കേസുകളും പരിഗണിക്കുകയും ഓരോന്നും എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് വിവരിക്കുകയും ചെയ്തു. തന്റെ ചില സമവാക്യങ്ങൾക്ക് നെഗറ്റീവ് പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് (negative solutions) അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു, പക്ഷേ അവയെ ‘സാങ്കൽപ്പികം’ എന്ന് വിളിക്കുകയും തള്ളിക്കളയുകയും ചെയ്തു. എന്നിരുന്നാലും, ക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കും ക്വാർട്ടിക്സിനുമുള്ള യുക്തിസഹമായ പരിഹാരങ്ങൾ തേടുന്നതിന് അദ്ദേഹം ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടങ്ങളിൽ ന്യൂനസംഖ്യകളും അവയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളും ഉപയോഗിച്ചു. 10 നെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നത്തിൽ, (അതായത് തുക 10-ഉം ഗുണനഫലം 40-ഉം ആകുന്ന രണ്ടു സംഖ്യകളെ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രശ്നം) പരിഹാരമായി \( 5+\sqrt{-15}\) , \( 5-\sqrt{-15} \) ലഭിച്ചിട്ടും അതിൻ്റെ ‘പ്രയോജനശൂന്യത’ യെക്കുറിച്ചാണ് പറഞ്ഞത്. \( (-1)^2=+1 \) എന്ന ആശയത്തിൽ അദ്ദേഹം കൗതുകം കാണിക്കുന്നു. രണ്ട് നെഗറ്റീവുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിലെ വൈചിത്ര്യം അക്കാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കിയിരിക്കാം. യൂറോപ്പിൽ 15-17 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അതുവരെ അപരിചിതമായ ഈ സംഖ്യകളെ സംശയത്തോടെ വീക്ഷിക്കുന്നതും പിന്നീട് അവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതും കാണാവുന്നതാണ്. 18-ാം നൂറ്റാണ്ടോടെ ന്യൂനസംഖ്യകൾ കൂടുതൽ സ്വീകാര്യമാകുകയും അവ കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മതയോടെ കൈകാര്യം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. അടുത്തതായി ന്യൂനസംഖ്യകളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഉണ്ടായിരുന്ന ആശയപരമായ ചില ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ നമുക്കു പരിശോധിക്കാം.
ന്യൂനസംഖ്യകൾ-ആശയപരമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ
തന്റെ ‘ജ്യാമിതി’ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ അന്റോയിൻ അർനോൾഡ് (1612-1694) അളവുകൾ, അനുപാതങ്ങൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അടിസ്ഥാന അവബോധങ്ങൾക്ക് ന്യൂനസംഖ്യകൾ വിരുദ്ധമായിപ്പോകുന്ന ഒരു സന്ദർഭം ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ന്യായവാദം ഇപ്രകാരമാണ്. നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളുണ്ടെന്നു കരുതുക, വലുതും ചെറുതുമായ ഒന്ന്. വലുതും ചെറുതുമായവയുടെ അനുപാതം ചെറുതും വലുതുമായവയുടെ അനുപാതത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. എന്നാൽ നമ്മൾ 1 നെ വലിയ സംഖ്യയായും -1 നെ ചെറിയ സംഖ്യയായും ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത് \(\frac{1}{-1}>\frac{-1}{1}\) ലേക്ക് നയിക്കും. ഇത് ബീജഗണിത നിയമങ്ങൾക്കു വിരുദ്ധമാണ്. ലീബ്നിസ് (1646-1716) ഈ പ്രശ്നം യഥാർത്ഥമാണെന്ന് അംഗീകരിക്കുന്നുവെങ്കിലും ഹരണം ഒരു പ്രതീകാത്മക കണക്കുകൂട്ടലായി നടത്തണമെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നുണ്ട്.
1685-ൽ ജോൺ വാലിസ് (1616-1703) എഴുതിയ ബീജഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രബന്ധം (Treatise on Algebra) ന്യൂനസംഖ്യകൾ എന്ന സങ്കൽപ്പനം വ്യക്തമാക്കാനുള്ള ആദ്യ ശ്രമങ്ങളിലൊന്നാണ്. വാലിസ് ന്യൂനസംഖ്യകളെ വ്യക്തമായി നിർവചിക്കുകയും ന്യൂന അക്കങ്ങളിലെ ക്രിയകൾക്കുള്ള നിയമങ്ങൾ ന്യായീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അൽ-ഖ്വാരിസ്മി, കാർഡാനോ തുടങ്ങിയവരെപ്പോലെ വിവിധ കേസുകളായി വേർതിരിക്കാതെ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർദ്ധാരണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും അദ്ദേഹം എഴുതുന്നു. പാശ്ചാത്യ സാഹിത്യത്തിൽ വലതുവശത്ത് പോസിറ്റീവ്, ഇടതുവശത്ത് നെഗറ്റീവ് എന്നിങ്ങനെ പൂർണ്ണസംഖ്യാവരിയുടെ (full number line) ആദ്യത്തെ വ്യക്തമായ ഉപയോഗം വാലിസ് നൽകുന്നു. ഇതിനെല്ലാം വ്യക്തമായ വിശദീകരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും ന്യൂന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ \(+\infty\) യേക്കാൾ വലുതാണെന്ന് വാലിസ് കണക്കാക്കുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ന്യായവാദം ഈ രീതിയിലായിരുന്നു: \( n \) വലുതാകുമ്പോൾ പരസ്പര \(\frac{1}{n} \) ചെറുതാകുകയും \( n \) അനന്തതയിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ പൂജ്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു. \( n \) ചെറുതാകുമ്പോൾ \(\frac{1}{n}\) വലുതായി വളരുകയും \( n \) പൂജ്യമാകുമ്പോൾ അനന്തതയിലേക്ക് വളരുകയും ചെയ്യുന്നു. പക്ഷേ, ന്യൂന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ 0 നേക്കാൾ ചെറുതാണ്. അതിനാൽ ഒരു അധിസംഖ്യയുടെയും ന്യൂനസംഖ്യയുടെയും അനുപാതം \(+\infty\) യേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.
ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കിടയിൽപോലും ന്യൂനസംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണയിൽ വളച്ചൊടിക്കലുകളും വളവുതിരിവുകളും ഉണ്ടാകുകയും ന്യൂനസംഖ്യകൾക്ക് കർശനമായ അടിത്തറ സ്ഥാപിക്കാൻ നൂറ്റാണ്ടുകളോളം വേണ്ടിവരികയും ചെയ്തതിനാൽ, ഇത് ഇന്നത്തെ ക്ലാസുമുറികളിലും ചോദ്യങ്ങളും ബുദ്ധിമുട്ടുകളും ഉയർത്തുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ഗണിതത്തിൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ അളവിന്റെ വർദ്ധനവിന് കാരണമാകുന്നു. 0 കൂട്ടുമ്പോൾ കേവലവില മാറ്റമില്ലാതെ നിൽക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്. (+ 3) + (-3) = 3 എന്നതിന് ഉത്തരം നൽകുന്ന ഒരു വിദ്യാർത്ഥി, ‘ഒന്നുമില്ലാത്തതിനേക്കാൾ കുറവ്’ ചേർക്കുന്നതും അളവിനെ ബാധിക്കില്ല എന്ന് സാമാന്യബുദ്ധിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉത്തരം നൽകുന്നത് പൂർണ്ണമായും യുക്തിരഹിതമല്ല. ന്യൂനസംഖ്യകളുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ എല്ലാ നിയമങ്ങൾക്കും തൃപ്തികരമായ വിശദീകരണം നൽകുന്ന ഒരു മൂർത്ത മാതൃക ഉണ്ടാക്കാൻ സാധ്യമല്ല. ചരിത്രപരമായ പരിണാമത്തിലൂടെ ഈ ആശയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണയെ തടഞ്ഞ ബൗദ്ധിക തടസ്സങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഒരു തടസ്സമായി മാറിയേക്കാം. അത്തരം തടസ്സങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചും കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ചുമാണ് ഈ ലേഖനത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗത്തിൽ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്.
ഉപസംഹാരം
നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണകളിലെ വളർച്ച പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ചില പുരാതന സമൂഹങ്ങൾ, പ്രത്യേകിച്ച് ചൈനയും ഇന്ത്യയും ന്യൂനസംഖ്യകളുമായി ഇടപഴകുകയും അവയെ അവരുടെ ഗണിതശാസ്ത്രചിന്തയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തതായി കാണാൻ കഴിയും; അതേസമയം ബാബിലോണിയക്കാരും ഈജിപ്തുകാരുമെല്ലാം ഒരുപക്ഷേ, അളവെടുപ്പിലും മറ്റും കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തിയതിനാൽ അധിസംഖ്യകളെമാത്രം ശരിയായവയായി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്തു. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ കൂടുതൽ അമൂർത്തമായ മേഖലകളിലേക്ക് മാറ്റുകയും അതിൽ ശാഠ്യം പിടിക്കുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ അവ ജ്യാമിതീയ രേഖാചിത്രങ്ങളിൽ വേരൂന്നിയതിനാൽ ന്യൂനസംഖ്യകളെ പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമായി (solution) അംഗീകരിച്ചില്ല. ആദ്യ സഹസ്രാബ്ദത്തിന്റെ അവസാനമാകുമ്പോഴേക്കും ന്യൂനസംഖ്യകൾ ഗണിതത്തിൽ ഉപയോഗപ്രദമാണെന്ന് തിരിച്ചറിഞ്ഞു. സാമ്പത്തിക കാര്യങ്ങളിൽ ആധിപത്യം പുലർത്തിയിരുന്നുവെങ്കിലും ബീജഗണിതത്തിൽ അവ ഒഴിവാക്കപ്പെട്ടു. ന്യൂനസംഖ്യകൾക്ക് കാര്യമായ പരിഗണന ലഭിക്കാൻ തുടർന്നും ഏഴെട്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾ വേണ്ടിവന്നു.
Leave a Reply